谢志芳名师工作室数学讲堂 🌸 第九讲: 中考数学专题——图形的折叠问题。

鹿泉区实验初级中学党总支

折叠

矩形

使点

纸片

图形

三角形

题型

如图

长度

中考

　 作为教育者，我们要让每一个孩子都要懂得诚实、担当、敬畏和团结的意义。每一个孩子必须把这些良知像基因一样镶嵌到自己的心脉里。

第九期:中考专题—图形的折叠 🌸本期主讲人:谢志芳

图形的“折叠问题”是近年中考数学中每年必考的热点问题。折叠的对象也往往有三角形、矩形、正方形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；

近几年来，中考数学命题水平逐渐提高，对于知识点的考察很全面，难易程度把控很好，很多题目生动新颖，别出一格，打破了常见的一个题型万年不变的老套路，作为学生，也要适应这种改变，基础知识要学扎实，能灵活运用各个知识点，以不变而应万变，才能掌控越来越多的新题型！

　　折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。

微讲座——折叠问题中求线段的长度

折叠问题常见的方式

折叠问题常见的题型

一、折叠后求长度

　二、折叠后求度数

1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）

A．60° B．75° C．90° D．95°

三、折叠后求面积

2、矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ）

A． 8 B．11/2 C． 4 D．5/2

典题回顾

　例题 1、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、BC 上的点，沿线段 EF 将 ∠B 折叠，使点 B 恰好落在 AC 上的点 D 处，试问当 △ADE 恰好为直角三角形时，此时 BE 的长度为多少？

解题思路：

△ADE 为直角三角形分两种情况：①∠ADE = 90°，②∠AED = 90°，此题需要分类讨论，结合三角形的相似、折叠的性质，来求折叠中线段的长度，关键是能画出折叠后的图形。

解答过程：

当 ∠ADE = 90°时，如下图所示：

证明：

先来证明四边形 DEBF 为棱形：

∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ADE = 90° ，∴ DE∥BC ，∴ ∠DEF = ∠EFB ，

又∵ 沿线段 EF 将 ∠B 折叠 ，

∴ DE = BE ,DF = BF ，∠DFE = ∠BFE ，

∴ ∠DEF = ∠DFE ，DE = DF = BF ，

∴ 四边形 DEBF 为棱形 。

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是棱形）。

再来证明 Rt△ADE ∽ Rt△ACB （相似三角形判断图形中的“A”字型）

∵ 在三角形 ACB 中 ，DE∥BC ，

∴ Rt△ADE ∽ Rt△ACB ，

设 棱形 DEBF 的边长为 x , 则有 DE = x , AE = 10 - x ,

在 Rt△ACB 中，AB = 10 , AC = 8 ,

由勾股定理得：BC = 6 。

∴ DE : BC = AE : AB , 即 x : 6 = (10-x) : 10 ,

解得 x = 15/4 ,

∴ BE = 15/4 ;

当 ∠AED = 90° 时，如下图所示：

易证 Rt△AED ∽ Rt△ACB ，由折叠的性质可得 DE = BE ，

设 DE = BE = x ，则 AE = 10 - x ，

由相似三角形的性质可得：

DE : BC = AE : AC , 即 x : 6 = ( 10 -x ) : 8 ,

解得 x = 30/7，∴ BE = 30/7 。

　　例题2、将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示的图形，已知 ∠CEB' = 50°，则 ∠AEB' 等于多少度？

解：设 ∠AEB = x , 则 ∠AEB' = x ; 因为 ∠AEB + ∠ AEB' + ∠CEB' = 180° ，所以 2x + 50° = 180°，解得 x = 65° 。

各地中考折叠类经典再现

1.（广东）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，求∠1+∠2的度数。

2.（江苏）如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．(1)求证：△CEG是等边三角形；

(2)若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．

3.（湖北）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是多少？

4.（河北）如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为(0，3)，∠OAB=60°，以AB为轴对折后，使C点落在点D处，求D点坐标。

5.（连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是多少？

折叠问题解题技巧:

1.折叠前后图形全等

2.折痕是角平分线

3.大部分题折叠后构造出直角三角形，可以利用勾股定理求长度

4.小部分题折叠后利用相似求长度。

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