“K”形图的前世今生之一线三角问题

郭猛

响应号召不出门，没事在家写论文。用这难得的时间研究、思考，归纳、总结。今天说一说：相似经典题型之一线三等角问题

“K”形图是相似三角形命题的热点之一，在中考中也常常出现，下面我们就认真研究一下它的前世今生。请看下图

如图，直线BE与∠ACD组成一个“k”字，如果∠B=∠ACD=∠E，这个图形即为“k”形图。特征是“一线三等角”，易得△ABC∽△CED。
以下是简要证明过程
证明：∵∠ACE=∠A+∠B
即∠ACD+∠DCE=∠A+∠B
又∵∠B=∠ACD
∴∠DCE=∠A
又∵∠B=∠E
∴△ABC∽△CED
（注：若CA=CD，

则有△ABC≌△CED。）
下面就让我们一起见识一下k形图的常见题型吧。let’s go！

三直角型

三直角型是最经典的k形图题，常常与矩形、平面直角坐标系或直角梯形等相结合，识别度很高。

例1 如图，正方形ABCD中，AB=4，点E在AB上，∠DEF=90°若BF=1，试 求AE的长。

解析：当∠DEF=90°时，

∠A=∠DEF=∠B，符合一线三等角，△ADE与△BEF组成“k”形图，易证两三角形相似，故有AD:BE=AE:BF，

即4 ：（4-AE）= AE:1，得AE=2。

例2 如图，在矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上一动点，且不与A、D重合，过点P作PC⊥PE，PE交边AB于点E。设PD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并求出y的最大值。

解析：由题意，∠A=∠D=∠EPC，符合一线三等角条件，故△APE与△DCP组成“k”形图，易证两个三角形相似，因而有AE:PD=AP:DC，即y：x = （3-x）: 2 ，得y=-0.5x2+1.5x。当x=3/2时，y最大，y=9/8。

练习a：如图，在平面直角坐标系中，A（0，6），B(8，2)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，求点P的坐标。

练习b：如图，点A（1，2）在反比例函数y=2/x （x＞0），点B在反比例函数y=-8/x （x＞0）上，且OA⊥OB。求点B的坐标。

提示：图中有一线三等角，△ACO和△DOB组成k形图，设B(x，y)，易得AC:OD=OC:BD，故有1：（-y）=2：x，（注意OD=-y）。得y=-0.5x，把y=-0.5x代入y=-8/x，可求出x的值，进而求出点B的坐标。

等腰型

k形图也常常与等腰三角形相结合，利用等腰三角形的底角来构造k形图，一线三等角的特征较为隐蔽，我们要特别留意。

例题3 如图，△ABC中，AB=AC，BC=8，点D是BC边上一点，点E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=∠C，已知BD=6，BE=4。求CF的长

解析：由题意易得，∠EDF=∠C=∠B，符合k形图的一线三等角条件，易证△BED∽△CDF，且CD=BC-BD=8-6=2，故有BE:CD=BD:CF，即4：2=6：CF，可得CF=3

练习c：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°，BD=2，CE=1，求AB

M形图

M形图与k形图是“亲兄弟”，外形极像，我也顺便把它也点点名，以防把这俩哥俩弄混了。

先看图

如图，若∠B=∠D，∠ACB=∠ECD，则△ABC∽△EDC，我们称之为M形图，并可得AB:DE=BC:DC，与k形图中的对应关系不同，要认真辨别，不要把两种图形和对应关系混淆。（在K形图中，由相似三角形可得AB:CD=BC:DE）
例4 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=2，AB=3，AD=7。在AD是否存在点P，使△PAB和△PCD相似？若能，共有几个符合条件的点P?请求出相应线段PD的长；若不能，请说明理由。

解析：△PAB和△PCD组成k形图或M形图时，两个三角形都会相似，下面我们一一分析。

（1）当∠CPB=90°时，

∠A=∠CPB=∠D，符合三线一角，△PAB和△PCD组成k形图，△PAB∽△CDP，可得CD:PA=PD:BA，设PD=x，则有2：（7-x）=x：3，即x2-7x+6=0，解方程可得x=1或6。

（2）当∠CPD=∠BPA时，△PAB和△PCD组成M形图，易证△PAB∽△PDC，可得CD: BA =PD: PA，设PD=x，则有2：3=x：（7-x），得x=2.8.

由上可知，符合条件的点P有三个，即当PD=1，6或2.8时，△PAB和△PCD是相似三角形。

练习d（练习a的变式）：

如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B(9，2)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一动点，问当P在何位置时，△PAO与△PBC相似。

归纳小结：

1、k形图的主要特征是一线三等角，符合此条件即有相似三角形。

2、M形图与k形图很容易混淆，要注意区分。

3、关于点的存在性问题要分类讨论，M形图与k形图都要考虑到。