P34第六题

方瑞

（1）由题意可知，设∠ABD＝∠CBD＝◎，∠CAD＝∠ACD＝X.在四边形ABCD中，根据对角互补可知:∠BAD+∠BCD＝180°.即∠BAC+X+X+∠BCA＝180°（∠BAC+2X+∠BCA＝180°①），在△ABC中，根据三角形内角和等于180°可得:∠BAC+2◎+∠BCA＝180°②，观察①和②式发现，都有∠BAC和∠BCA,而且和均为180°，所以可以合并①和②来寻求关系:‖∠BAC+∠BCA+2◎＝∠BAC+∠BCA+2X‖.所以可得:X＝◎.在△BCD中，根据三角形内角和等于180°可得:∠BDC+◎+X+∠BCA＝180°即为:∠BCA+∠BDC+2X＝180°③.此时再次观察已经得到的①②③式子，发现①和③中有相同之处（均有2X和同角∠BCA，可进行等量代换），所以合并①③可得:∠BAC+∠BCA+2X＝∠BDC+∠BCA+2X.显而易见:∠BAC＝∠BDC.

（2）由题意可知，FN垂直平分AB，而且有相关角（◎），所以我想构造垂直平分线的基本图形；连接AF，易得AF＝BF，∠BAF＝∠ABF＝∠CBD＝◎，继续挖掘已知条件（∠CED＝∠ABC），因为∠ABC＝2◎，通过构造基本图形得等腰三角形ABF，发现△ABF的外角∠AFD＝2◎，恰好等于∠ABC，所以经等量代换得∠AFD＝∠CED.此时观察图形，经过度量得DF＝CE，此题要证明边等应该找三角形全等，发现△AFD与△DEC如果全等，那么对应边DF与CE就相等，此题就得解了。于是开始观察△AFD和△DEC，发现二者有一对等角和一对等边（AD＝CD），如果要SAS全等，相比较AAS和ASA，缺少条件较多，所以应该再找出一对等角较为划算。（1）的结论和◎＝X可以使用，发现∠BAC＝∠FAD（◎+∠FAC＝X+∠FAC），等量代换得∠BDC＝∠FAD，这样就构造了AAS全等，易得DF＝CE.

（3）观察图形，与（2）图形差别不大，所以思路和辅助线可以参考（2）.但是只连接了AF，依照（2）思路证明△FAD≌△EDC显然是不行的，还是挖掘∠CED＝∠ABC.发现构造等腰三角形GCE可以一箭双雕（可以将CE转换为CG，证明△CGD≌△DFA即可）。所以观察△CGD与△DFA，由（2）证得∠FAD＝∠GDC，已知条件AD＝CD。同样的，构造AAS全等，由等腰三角形CEG可得∠CGE＝∠E＝∠ABC，（2）中证得∠AFD＝∠ABC，所以等量代换可得∠AFD＝∠CGD，易证得△CGD≌△DFA，所以DF＝CE，（2）结论依然成立。