鹿泉区谢志芳数学名师工作室寒假讲堂

安

例题

题型

如图

最小值

直线

最小

对称点

线段

直角

桶口

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第四讲 主讲人：安乐冉

　　同学们在八年级上册已经学习了《课题学习 最短路径问题》，下面我们一起回顾学习过程。

　　我们经常在考试当中看到求线段之和最小的问题，首先来看以下这几个数学模型：

　　总结一句话，要在哪找点，我们就关于谁作对称！是不是很好理解？

题型一：直线类

例题1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

解：作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M
则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小
如右图，在直角△AB'E中，
AE = AC+CE = 10+30 = 40
EB' = 30
所以：AB' = 50
总费用为：50×3 = 150万.

题型二：角类

例题2：如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

题型三：三角形类

例题3：如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值。

题型四：四边形类

例题4：如图，若四边形ABCD是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值。

解：作点C关于BD的对称点C'，过点C'，作C'E⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值。

直角△BCD中，CH =20/5

直角△BCH中，BH = 8

△BCC'的面积为：BH×CH = 160

所以 C'E×BC = 2×160 则CE' = 16

题型五：圆类

例题5：如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )
A.2√2 B.√2
C.1 D.2

题型六：一次函数类

例题6：在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．

解：点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小
设直线A'B的解析式为y=kx+b，则
-2=-k+b
2=4k+b
解得：k = (4/5) b = - (6/5)
所以：y = (4/5)x-(6/5)
当x = 1时，y = -(2/5)
故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小.

题型七：二次函数类

例题7：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）.

题型八：建桥选址类

例题8：如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

题型九：立体图形类

例题9：一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？

题型十：垂线段最短型

例题10：如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

中考真题（2019年四川成都）

最后，向所有为此次疫情付出努力的人们，致敬！