[双腰共点]正在呼叫（文48）

微风

一、盘活“双腰共点”型的深层知识

两个相似等腰三角形（特别是两个等腰直角三角形或者两个等边三角形）共顶角或底角顶点的情景，简称为“双腰共点”型态。它呼叫全等（或相似）三角形去变换线、角.

以两个等腰直角三角形共顶角顶点为例（可视为一个等腰直角△ABC固定，另一个等腰直角△ADE绕点A旋转），盘活“双腰共点，等角伴线”型的呼叫:

呼语①：共点等角生等角.

∠BAD=∠CAE=90°-∠DAC，

呼语②：两组等线利用好.

AB=AC，AD=AE.

连接BD、CE后，呼叫密语是：

呼语③：两个旋转靠腰三角形全等.

即△ABD≌△ACE

呼语④：两条拉手直线BD、CE的一个交角等于等腰三角形顶角.

此图是∠BFC=∠BAD=90°.

呼语⑤：将靠腰三角形的线、角变换.

BD=CE，

∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC，

仅有一个靠腰三角形时的呼叫密码是：

将一个靠腰三角形旋转为依靠另一腰的靠腰三角形，让变换等线、等角的旋转全等三角形降临.

即构造变线、变角的旋转全等三角形△ABD≌△ACE.

这时，一个相似的等腰三角形（△ADE）也降临.

　　上图所示的旋转靠腰三角形，或再作同形共顶角点的等腰三角形思维意境，应该丰满.

类似地，如下图所示，当两个等腰直角三角形共底角顶点时，连接AD、CE后，也有类似的呼叫密语. 只不过旋转全等三角形变成为旋转相似三角形.

即呼语是：△BAD∽△BCE，

且相似比=腰:底.

同样地，任意两个等边三角形顶点共点，呼叫两个旋转的全等靠腰三角形，同样可盘活线、角的变换.

　　二、盘活“双腰共点”的思意

完整“双腰共点”型态，是常用的添线道术.

呼叫靠腰三角形旋转，是盘活线角的良策.

1、（2009•铁岭）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．

（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．

①求证：△AEB≌△ADC；

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理

（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；

（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

观察思考

问题（1）①：

盘活“双等边共点A”型态，听从两个旋转靠腰三角形的全等呼叫.即

问题（1）②：

旋转的靠腰全等三角形在呼叫角变换.

由△ABE≌△ACD得，

∠ABE=∠C=60°，

又在等边△ABC中，∠BAC=60°，

所以，∠ABE=∠ABE，

∴BE∥CG，

又∵EG∥BC，

四边形BCGE是平行四边形.

问题（2）：

（1）中的两个结论仍然成立.

同理①，盘活“双等边共点A”型态，呼叫两个旋转全等靠腰三角形变角.

问题（3）：

当CD=CB（或BD=2CD或∠CAD=30°或∠ADC=30°或∠BAD=90°）时，四边形BCGE是菱形.

理由如下：

意境1：靠腰全等三角形呼叫定线段.

由①△ABE≌△ACD.

∴BE=CD，

当四边形BCGE是菱形时，BE=CB，

所以，CD=CB.(也即BD=2CD)

意境2：靠腰全等三角形呼叫定角.

2、如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD=6，CE=2√2 ，点F在CD上，连接DE，连接BG并延长交CD于点M，交DE于点H．则BH的长度为_______．

观察思考

正方形ABCD与正方形CEFG共点于C，可视为等腰直角△CBD与等腰直角△CEG共点于C.则盘活“双腰共点，等角伴等线”型，呼叫旋转的全等靠腰三角形去变线、变角，产生垂线.即

计算意境1：

计算意境2：

计算意境3：

反思：

1、拥有“双腰共点，等角伴等线”型的深层知识，就能听见BH⊥DE于H的呼叫；

2、从直角（∠DHM=90°）出发，利用勾股定理，三角函数，相似三角形去计算线段，是必备的计算基本功；

3、遇见直角边之比为1:2的特殊直角三角形，应立即想到三边之比为1:2:√5 .

3、如图，正方形ABCD和正方形DEFG．连接AE，AG，若∠GAE+∠DAE=45°.

求证：AG=√2AB．

观察思考

正方形ABCD与正方形DEFG共点于D，可视为等腰直角△DAC与等腰直角△DEG共点于D.则呼叫两个旋转的全等靠腰三角形去变线、变角，产生垂线.即

则求证AG=√2AB转化为求证AC=AG.

即需求证△ACG是等腰三角形.

思维意境1：

求证ΔCAG的两个角相等.

　　因为∠GAE+∠DAE=45°，

∠CAO=∠CAD-∠DAE=45°-∠DAE，

∴∠GAC=∠GAE+∠CAO

=(45°-∠DAE)+ (45°-∠DAE)

=90°-2∠DAE，

又∠ACG=45°+∠DCG

=45°+∠DAE，

在△ACG中，

∠AGC=180°-∠ACG-∠GAC

=180°-（90°-2∠DAE）-（45°+∠DAE）

=45°+∠DAE，

=45°+∠DCG，

∴∠AGC=∠ACG，

所以，AG=AC，∴AG=√2AB.

思维意境2：

先求证AO平分∠CAG，再证两三角形全等.

4、如图，⊙O的半径为4√2 ，点B是圆上一动点，点A为⊙O内一定点，OA=4，将AB绕A点顺时针方向旋转120°到AC，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于E，则OE的最大值为_______ ．

　 解析此单动端点线段最值试题，仅熟知显性的定理、性质知识，仅刷题而不深悟隐性的思维性知识，会在问题情景和思维意境上产生难受感，两个基本的答题通道大门，就不会自然打开.

情景分析：

1、最值线段OE的端点O是定点，端点E是动点；

2、△ABC是顶角∠BAC=120°的等腰三角形；

3、两条已知线段OB=4√2 ，OA=4是靠腰△ABO的两边；

4、点E是平行四边形ABCD对角线的交点，则E是腰线AC的中点.

思维意境一：

确定动点E的轨迹.

呼叫靠腰△ABO旋转，构造“双腰共点”模型盘活已知线段.

1、如图，作等腰ΔAOF，使得AF=AO，∠OAF=120°，连接CF，则由构造的“双腰共点”模型得ΔAFC≌ΔAOB（SAS），∴FC=OB=4√2；

2、取AF的中点G，连接EG，则EG是ΔACF的中位线，∴GE=½CF=2√2，

∴动线段OE的动端点E的运动轨迹是以G为圆心，半径为定长2√2的圆.

则问题转化为求定⊙G外一点O，到⊙G上动点E的最大值OE.

显然，O、G、E共线时，OE最大.则需计算OG.

3、计算意境：解斜ΔAOG.

作GH⊥OA的延长于G，

在直角ΔHAG中，∵∠HAG=60°，AG=2，

∴AH=1，GH=√3，

∴OH=OA+AH=4+1=5，

在直角ΔHOG中，OG²=OH²+GH²

=5²+（√3）²=28，

∴OG=2√7，

∴OE的最大值=OG+GE=2√7+2√2.

思维意境二：先变线最值线段OE，再呼叫“双腰共点”模型.

　　问题转化为求靠腰△ACF中线段CF的最大值.则呼叫眼睛喜欢的“双腰共点”模型.

　　如图，作AG=AF=8，∠FAG=120°，连接BG，则由构造的“双腰共点”模型得ΔAFC≌ΔAGB（SAS），

∴GB=CF.

则求出定点G到定圆O上动点B的距离最大值得解。

计算意境：解斜ΔAOG.

作GH⊥OA的延长于G，

在直角ΔHAG中，∵∠HAG=60°，AG=8，

∴AH=4，GH=4√3，

∴OH=OA+AH=4+4=8，

在直角ΔHOG中，OG²=OH²+GH²

=8²+（4√3）²=112，

∴OG=4√7 ，

∴GB的最大值=OG+GE

=4√7+4√2 .

∴OE的最大值=½CF=½GB

=2√7 +2√2 .

5、如图，等边△ABC中，点D在边AB上，E在CB的延长线上，已知CD=ED，M是CD中点，AM=2√2 ，求AE的长．

观察思考：

AE的长度必然与已知线段AM的长度密切相关.且由直觉思维猜想AE=2AM.则加倍AM，构造平行四边形后，证两个靠腰三角形全等.

　　由平行四边形得DG//AC，

又ΔABC是等边三角形，

∴ΔBDG是等边三角形；AD=CG=CF.

∴DB=DG，∠DBE=∠DGC=120°，

又DE=DC，∠DEB=∠DCG，

∴ΔDEB≌ΔDCG（AAS），

∴EB=CG=CF，

又∠ACF=∠ABE=120°，AB=AC，

∴两个靠腰三角形全等.

即ΔABE≌ΔACF（SAS），

∴AE=AF=2AM=4√2.

6、等边△ABC所在平面内有一点D，BD=2，CD=4，且∠BDC=120°，射线BD交直线AC于点E，则AE=________．

观察思考：

1、面对无图题的条件“等边△ABC所在平面内有一点D”，想到点D在△ABC内或在△ABC外.

2、待求线段AE=AC+CE.则需求出等边ΔABC的边长和线段CE的长.

3、已知靠腰ΔBCD的两边BD=2，CD=4和夹角∠BDC=120°.则首先从120°的角出发去思考.

讨论：

一、当点D在ΔABC外部时.

（1）∵∠BCE=∠BDC=120°，∠CBE公用，

则有“子母相似三角形”，

即ΔBCD∽ΔBEC，

∴CE/CD=BC/BD，①

则求出等边ΔABC的边长BC得解.

（2）注意到靠腰ΔBDC中的120°角与等边三角形的底角（60°）之和为180°，则靠腰ΔBDC旋转60°后，可得到平角，即可得到2+4=6的三点共线的线段AD.所以，可呼叫“双腰共点型”盘活已知线、角.

思维意境：

如图1，将线段BD绕点B逆时针旋转60°到BF，连接DF、AF，DF与BC交于点G，

（即将已知两边夹角的靠腰ΔBDC绕点B逆时针旋转60°）

则ΔBDF是边长为2的等边三角形，

则由构造的“双腰共点模型得

BF=BD，

∠FBA=∠DBC=60°-∠CBF，

BA=BC，

∴ΔBAF≌ΔBCD（SAS），

∴AF=CD=4，∠BFA=∠BDC=120°，

∵∠AFB+∠BFD=120°+60°=180°，

∴A、F、D三点共线，

∴AD=AF+DF=4+2=6，

又∠ABG=∠BDG=60°，∠BAD公用，

则有“子母相似三角形”，

即ΔBAG∽ΔDAB，

∴AB²=AD·AG=6AG，②

因为AG=AF+FG=4+FG，③

则需求FG的长.

∵∠CDF=120°-60°=60°=∠BFD，

∴ΔBGF∽ΔCGD

∴FG/DG=BF/CD=2/4=1/2，

又DF=FG+DG=2，

∴FG=1/3·DF=2/3，

所以，由③得，AG==4+2/3=14/3，

∴由②得，∴AB²=6AG=28，

∴AB=2√7=AC=BC，

又CE/CD=BC/BD，①

∴CE/4=2√7/2，

∴CE=4√7，

所以，AE=AC+CE=2√7+4√7=6√7.

反思：利用靠腰三角形的边、角，呼叫“双腰共点模型”转换线、角，以及从等角出发，敏锐地发现“子母相似模型”，才能提刀跨马顺势而动.

二、当点D在ΔABC内部时.

如图2，将线段BD绕点B逆时针旋转60°到BF，连接DF、AF，

（即靠腰ΔBDC绕点B逆时针旋转60°）

则ΔBDF是边长为2的等边三角形，

则由构造的“双腰共点模型得

BF=BD

∠ABF=∠CBD=60°-∠DBA

BA=BC

∴ΔBAF≌ΔBCD（SAS），

∴AF=CD=4，∠BFA=∠BDC=120°，

∵∠BDC+∠BDF=120°+60°=180°，

∴C、D、F三点共线，

∴CF=CD+DF=4+2=6，

因为∠AFD=∠BFA-∠BFD

=120°-60°=60°=∠BDF，

∴DE//AF，∴ΔCDE∽ΔCFA，

∴DE/AF=CD/CF，即DE/4=4/6，

∴DE=8/3，

BE=BD+DE=2+8/3=14/3.

又因为∠EDC=∠ECB，∠BEC公用，

∴有“子母相似型”，即ΔEDC∽ΔECB，

∴CE²=DE.BE=8/3×14/3=112/9，

∴CE=4√7/3，

因为DE//AF，

∴AE/CE=DF/CD，

即AE:4√7/3=2/4，

∴AE=2√7/3.

综上所述，AE的长为6√7或2√7/3.

7、如图，四边形ABCD中，AD=4，CD=2， ∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长.

图形情景特点：

由条件∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°知，ΔABC是等腰直角三角形.所以背景图有三大特点：

1、待求线段BD是依靠着腰AB的靠腰三角形的边.

2、已知两边夹角的ΔACD是依靠着另一腰AC的靠腰三角形.

3、已知角（∠ADC=45°）与等腰ΔABC的底角之和，可构成90°的直角.

思维意境：旋转靠腰三角形，呼叫“双腰共顶点模型”.

解法一：旋转已知两边夹角的靠腰△ACD转移线、角.

将△ACD绕点A逆时针旋转90°，得到△ABE.

则∠AEB=∠ADC=45°，BE=CD=2.

连接DE，则△ADE是等腰直角三角形.

∴DE=√2AD=4√2，

∠AED=45°，

∴∠DEB=∠AED+∠AEB=45°+45°=90°，

在Rt△EBD中，

BD²=DE²+BE²=2²+（4√2）²=36，

所以，BD=6.

解法二：旋转待求线段BD所在的靠腰△ABD转移线段.

将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△ACE.

则ΔACE≌ΔABD，

∴CE=BD，AE=AD=4.

连接DE，则△ADE是等腰直角三角形.

∴DE=√2AD=4√2，

∠ADE=45°，

∵∠EDC=∠ADE+∠ADC=45°+45°=90°，

∴在Rt△DEC中，

CE²=CD²+DE²=2²+（4√2）²=36，

∴CE=6，

∴BD=6.

8、如图，在ΔABC中，∠ABC = 60°，

AB = 2√3，BC = 8，以AC为腰，点A为顶点作等腰ΔACD且∠DAC=120° .求BD的长.

三大情景特点：

因为 ΔADC是等腰三角形.所以背景图有三大特点：

1、待求线段BD是依靠着腰AD的靠腰三角形的边.

2、已知两边夹角的ΔABC是依靠着另一腰AC的靠腰三角形.

3、已知角（∠ABC=60°）与等腰ΔADC的底角（30°）之和，可构成90°的直角.

思维意境：旋转靠腰三角形，呼叫“双腰共顶点模型”.

解法一：旋转已知两边夹角的靠腰

△ABC转移线、角.

将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△AED.

则∠AED=∠ABC=60°，DE=BC=8，AE=AB，

∴ΔABE是顶角等于120°的等腰三角形，

∴BE=√3AB=√3×2√3=6.

∴∠DEB=∠AED+∠AEB

=60°+30°=90°，

在Rt△EBD中，

BD²=DE²+BE²=8²+6²=100，

所以，BD=10.

解法二：旋转待求线段BD所在的靠腰△ABD转移线段.

将△ABD绕点A顺时针旋转120°，得到△AECE·

则ΔACE≌ΔABD，

∴CE=BD，AE=AB=2√3

∴ΔABE是顶角为120°的等腰三角形，

∴∠ABE=30°，BE=√3AB=√3×2√3=6，

∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=60°+30°=90°，

在Rt△BCE中，

CE²=BC²+BE²=8²+6²=100，

所以，CE=10，

∴BD=10.