中考数学23题错题分析

雨后彩虹

　　研究历年中考题，会发现第23题通常考圆的综合题，分值8分。固定题位，固定分值。题型有（1）圆结合①相似三角形②锐角三角函数③全等三角形；（2）圆结合特殊四边形。

考查形式通常是：①证明角或线段相等；②证明线段平行；③切线的判定；④计算线段长、线段比例关系；⑤求正切值等；⑥判定特殊平行四边形等。

由于这道题不止要求学生熟练掌握圆的相关知识，还要求学生熟练掌握三角形、特殊四边形等知识，具有较强的综合性，所以本题得分率通常不高。

常见错误如：

　　本题第二问首先需证明△ACB和△CDB相似，再利用相似三角形对应边成比例即可得解。由于本题要用到图中的隐含条件∠B＝∠B，再结合第一问的结论证明两个三角形相似，学生未能发现隐含条件导致毫无思路而丢分。

　　该同学在更正过程中书写不规范、跳步致使证明过程不严密、完整。

　　本题第二问需利用同弧所对圆周角相等、等角的正弦值相等进行角度转化，再利用垂经定理结合勾股定理即可得解。

该同学垂径定理掌握不好，致使未写完而丢分。

　　该生最后用勾股定理求半径时，未找准直角三角形中斜边（半径）与另一条直角边ON的关系，导致出错丢分。

　　该生辅助线出错！一步错，步步错！

　　针对以上问题，教师应注重①夯实基础，规范书写；②引导学生思考，归纳总结常见作题方法，形成能力。

方法归纳：

1、证明圆的切线时，要分以下两种情况：

（1）若直线经过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可。可简述为：“有切点，连半径，证垂直”。

（2）直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于圆的半径。可简述为：“无切点，做垂直，证半径”。证明垂线段的长等于半径的常用方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等。

　　2、圆中求角度或证明角相等的几种思路     
（1）利用切线的性质，构造直角三角形，由两锐角和等于90度进行角度转化；
（2）利用圆周角定理及其推论，通过圆中相等的角代换可得角的大小；
（3）利用圆周角定理的推论、勾股定理等得到一组平行线，通过圆中相等的角代换可得角的大小。

　　3、求线段长度的几种思路
（1）当解决有关切线的问题时，一定会存在直角三角形，故运用勾股定理是求长度最常用的方法，另外注意，直径所对的圆周角是直角也是构造直角三角形的常用方法。
（2）利用直角三角形的边角关系求解：在圆的综合题中，当含有直角三角形或已知三角函数值时，常利用直角三角形的边角关系求出相关线段长，有时需运用同弧所对圆周角相等进行角之间的转化求解；
（3）利用相似三角形求解：圆的综合题中往往会涉及切线的性质与圆周角定理推论的结合，因此利用等角之间的等量代换找出与要求线段相关的两个三角形相似是解题的关键，另外对圆周角定理的灵活运用也非常重要；
（4）运用等面积公式，也可求解点到直线的距离问题。

　　针对错误，多加练习，及时总结，定能有所收获！