《圆的周长与面积》 执教人：胶州市向阳小学纪子成

王宇

周长

面积

研究

探究

学生

三角形

公式

教师

转化成

计算公式

80分钟的数学课，将圆的周长和面积合在一起上，能行吗？怎样上？接下来让我们一起走近纪子成老师的数学课《圆的周长与面积》。

一、创设情境，提出问题

认识这个图形吗？教师板贴圆形并板书圆。

前面我们已经认识了圆，知道了圆各部分的名称和特征，你还想知道什么？

周长、面积。

你能上来指一指圆的周长吗？圆的面积呢？

教师顺势小结：围成圆一周的长度是圆的周长；圆所占平面的大小是圆的面积。

二、动手操作，自主探究

1.确定研究方法

数学研究策略为先，怎样才能知道圆的周长？怎样才能知道圆的面积？

同学们先小组讨论一下研究方法。

2.动手操作探究

学生交流研究的策略后教师出示探究要求并提示：先用学具袋中的两个圆进行研究，再把成果贴在展板上。先研究圆的面积，再研究圆的周长。

3.交流探究方法

刚才大家测量了圆的周长，又研究了圆的面积，先来交流圆的面积的研究方法。

A：在圆外画正方形

学生在圆外画一个正方形，发现正方形的面积比圆大。可以继续画正五边形……

虽然没计算出来，但是一个好办法。教师顺势出示课件。

研究过程中提示：想到一种研究方法后，再想一想还有没有其他的研究方法？

接着画会怎样？渗透极限思想。

如果从里面画一个圆呢？课件演示方法。

这两种研究方法虽然没有解决问题，但提供了很好的思路。

渗透数学文化：这与刘徽的割圆术不谋而合，我们一起了解一下。

“割之弥细，失之弥少”是什么意思？

B:把圆转化成长方形

学生把圆转化成近似的平行四边形，遇到的困难是边是有弧度的，不大好求。

刚才的极限思想给了你启发，先这样继续割下去，想一想，还可以分成多少份？

学生交流体会：无限分下去，会越来越接近长方形。

教师版贴：圆转化成长方形。

还有不同的方法吗？

C:把圆转化成若干个小三角形

学生把圆折成很多个小三角形，很多个小三角形的面积和就是圆的面积。

教师课件演示把圆平均分成128个小三角形，更多个小三角形，学生感受到分得越多，越接近三角形。

教师板贴：把圆转化成n个三角形。

4.初步推导圆的面积计算公式

现在我们已经把圆转化成我们学过的图形啦，现在你能计算出圆的面积吗？写在探究单上。

学生展示交流：

A：把圆转化成长方形，长方形的长是周长的一半，宽就是半径，面积等于长乘宽，也就是周长的一半乘半径。

教师板书：圆周长的一半乘半径。

B:用三角形的个数乘每个小三角形的面积。

学生补充n分之周长乘半径除以二乘n。

渗透数学文化：出示九章算术资料，跟我们的研究结论是一样的。给自己鼓掌！

5.研究圆的周长

出示学生探究单，都是2号圆片，一个是38.7，一个是38。

你们是怎样测量圆的周长的？

A:缠绕法。

B：滚动法。

质疑：为什么不用直尺测量？

体会化曲为直的方法。

数据为什么不一样？测量是有误差的。怎么办？产生探究计算公式的需要。

猜想圆的周长和什么有关系？与直径有什么关系？

教师询问学生需要休息吗？有想上厕所的可以去。

学生不愿休息，想要一气呵成的继续探究。

学生测量圆的周长，在探究单上记录数据。

展示3个小组研究的数据和结果，发现周长与直径的关系大约是3倍多一点。

周长与直径的关系自古以来，一直在研究。

出示圆周率的研究历程，渗透数学文化：

经过研究人们发现，圆周长和直径的比值是圆周率。

你了解到什么？

学生交流自己对圆周率的理解。（取值，无限不循环等）

C:d=派，那C等于什么？

知道了周长和直径的关系，周长和半径有什么关系？

5.推导圆的面积计算公式

根据周长和半径的关系，能把圆的面积计算公式表示的更简单吗？

学生自主推导公式得到圆的面积计算公式。

多么严谨的推理过程，省略乘号得到公式。

另一个研究思路公式怎么推导呢？学生上台推导公式。

教师板书公式，跟这两个公式比较，哪个公式更简单？

刚刚研究完，跟你刚才只知道公式相比，有什么感受？

研究的价值在哪？过程很重要。

三、回顾总结，反思提升

回想一下，今天我们经历了一个怎样的研究过程？

师生共同梳理：转化图形，找出关系，推导公式的研究过程。

跟你一开始就知道圆的周长和面积计算公式相比，上完有什么感受？

学生感觉探究的过程很快乐，能知其然，知其所以然，探究很有趣。