聚焦课堂研究，搭建学习平台——项目组第24次活动简报

丶阳光

学生

假设

老师

方法

问题

策略

解决问题

课堂

算式

列表

　　“等闲日月任西东，不管霜风著鬓蓬。满地翻黄银杏叶，忽惊天地告成功。”深秋时节，浦口区实验学校银杏叶铺就的校园小路上，迎来了一批尊贵的客人，有省教研员郭庆松老师、南京师范大学金海月博士、区教研员赵学武老师，还有区基于证据项目组成员，以及区各校的小学数学同仁们。

　　在赵老师的带动下，项目组的各位老师在参加活动之前各自都精心准备，细致思考。教研还未开始，大家都已经沉浸在了真教研的氛围中。

本次活动安排如下：

一、课前慎思——愤悱之恻，拨云见日。

按照惯例，首先由袁永林和洪碧君两位老师为大家执教研究课。两位或气场十足，淡定自如，或清新自然、笑靥如花，为大家展示了关于“解决问题”教学的精彩课例，这背后自有无尽的思考和反复揣摩。

第一节课：

袁永林副校长：这节课的重点是关于如何更好运用列表的策略解决问题，在于让学生去习得这种策略，在应用方面偏弱一些。

本单元是有条理地整理信息，发现数量之间的联系，作为策略教学的切入口，发现和利用数量关系是解决问题的途径。通过整理信息明确和把握数量关系，既是可操作的方法，也是解决问题的策略，让学生学会整理信息的常用方法，体会它的作用和意义，从而内化成自己的策略。填入表格的是筛选后的重要信息和有用的数据，实际问题里许多情节性的内容已经被过滤掉了，因此列表整理能够帮助学生把握实际问题里的重要教学内容。
“解决问题的策略”这一单元是这一册书中的亮点，也是教学中的一个难点。在以往的教学过程中，老师会侧重把重点放在怎么样去解决这个问题上，没有分清策略与方法的本质区别，解决问题的策略不同于解决问题的方法，方法可以在传递中习得，但策略不能从外部直接输入，只能在方法的实施中感悟策略，从而获得策略。

本单元教学是用列表的策略解决实际问题，在第一学段的学习中，学生已经积累了一定的解决问题的经验，初步了解同一个问题可以用不同的方法解决，学生初步接触策略这一词，在解决问题的过程中，对问题在情境中呈现比较多的信息，产生整理信息的需要，以及掌握整理信息这一策略的心理需求，从而真切地感受到列表的作用，愿意主动掌握并运用这一策略去解决问题。例题出现水库放水的情境信息，并且用表格给出信息，呈现问题，引导学生用表格给出的信息，寻找解决问题的关键——即“每2小时下降12厘米”这一稳定不变的数量。学生基于解题经历，形成相应的经验技巧，从而进行反思提炼，真正形成解决问题的策略。

第二节课：

洪碧君老师：从3个方面和大家进行交流。

1.选题缘由

这节课选自人教版四年级下册的《数学广角》内容，在前两周中坚教师赛课过程中刚好以这节课作为赛课的内容，有的教师侧重于让学生解决这个问题，有的侧重于讲授方法再解决问题，从当时学生的学习情况来看，洪老师就学生现有的认知和学习经验基本是无从下手的。这时教师可以怎么办？两种选择，要么直接教授方法，要么给学生一个辅助，继续研究。由此想到是否可以依次为研究的素材，依托于这个问题情境，呈现更多的思维。通过同伴的交流分享，让学生经历从不会到会的学习过程。基于这样的思考，洪老师的团队开展了三次磨课。

2.三度打磨求突破
第一次磨课

独立备课，查阅相关资料，了解“鸡兔同笼”是非常经典的问题，里面蕴含着比较丰富的教学思想方法，在不同教材中呈现的侧重点也是不一样的。同时基于学生的学情特点，也安排在了不同年级。那在本节课中，可以追寻的教学目标是什么呢？是否可以从不同方法入手，以此为学材，呈现多种学生的思维，最后归一到假设的策略。基于这样的理解，在第一次教学中，分为以下几个板块：古文情境，提出问题让学生初步尝试、探究——简化问题，再次探究，寻找方法，再次尝试，感悟“假设”的策略——解决问题，回顾反思，谈体会。
反思：

①学生不会了，教师如何自然地给与一个“支点”，让学生有继续探究下去的可能呢？

②当学生呈现多样化的思维时，教师该如何有序展示并沟通不同方法间的联系呢？

第二次磨课
教师提供小锦囊的方式给予学生继续探究的可能。一共展示了9幅作品

反思：如何定位这三种方法展示的序：画图法、列表法或是直接计算法。
      虽然这样分为三种方法，层次很清晰，但其实画图法与列表、算式是有共性的，只是表征方式不一样，算式其实就是记录了画图再调整的过程。如果这样设计，是否就割裂了这几种方法的联系？包括最后出现算式，再用图来解释这个过程，也显得比较冗长。

第三次磨课
      基于这样的思考，将画图法与算式结合起来，再呈现列表的方法，最后将这几种不同的表征方式都归结到“假设”的策略。
      几次试上完最大的体会：学生的思维世界远比我们想象得精彩。如果给他一个支点，他真的可以撬动整个地球。

3.我们的困惑

我们想让更多的孩子展示不同的思维，想让更多的孩子参与课堂，想让更多孩子的想法被关注、被认可，但就不知道时间去哪了？

　　我们想要追寻的方向：

                  看得见学习的过程
                  看得见学生的思维
                  看得见学生的进阶

二、团队助力——追根溯源，直逼本质。

两位老师都特别善于思考和总结，但一节精彩的课例也离不开背后团队的支持，各自的团队中总有独具匠心细致解读文本的领跑者，带领一群追梦人不断叩问知识的本源，挖掘隐藏的本质属性。

华松副校长团队：让学生独立开始学习的旅程

华校长说，她的听课本上记录了6次同样的课例，每一次都在为怎样从学生已有的经验出发来设计大问题而不断修正，从起点出发，展开“教”和“学”的活动是我们设计的核心。
看到例2在初读题目之后，其实大部分人都毫无解题思路，即使给一个成年人可能一下子也没读明白，所以这里我们通过一读题、二读题去逼着学生寻找题中隐藏的关键条件。由此，他们的团队设计了任务一，就是引导学生自主寻找思维的出发点，就像每一段旅行中我们都要寻找合适的出发点来迈出第一步一样，思维过程的前半段，老师不能替代。几次试上下来发现，如何打破学生的思维定式是关键，因为学生对题中信息的整理还停留在挪移的阶段，就是把题目中的条件提出来重组这样的阶段，而在例2中，仅仅挪移重组是不行的，必须要从表格中找到这个关键的隐藏条件，然后还要把它和问题一起简洁地整理在一块儿。
如何突破？赵老师建议，在学生一读题描述出问题后，教师有条理地板书问题中的120厘米和问题，给学生整理信息形式上的暗示。在今天呈现的作品中，有表格继续排的，也有文字表达的，也有最简洁的表格整理，这些作品都反映了不同学生的思维差异性，留下了证据。思维的可视化是基于证据教学的关键，在不同作品的对比和展示中，学生感受到了信息整理的重要性。学生有了这种体验和感受，后面遇到问题时才会主动去用。

学了策略不是为了今天学本节课用，下课就忘了，而是为了让学生后面遇到问题时会想到：我还有一种什么办法能解决这样的问题？所以华校长认为，这就是解决问题的策略的一个目标，以后学生还可以主动地用到这个策略。他们的设计没有替代学生的思维前半段，让每个学生从自己学习的起点开始他们的学习旅程。

尹文军老师团队：走进儿童的探索世界

背景：

第24次项目组活动中，有两句话让尹文军老师回去后彻夜难眠，第一句话：基于证据的教学追求的目标，要看得见学习的过程，看得见学生的思维，看得见学生的进阶。第二句话：老师总是在选学霸的作品，老师总是在选我需要的作品，其他学生呢？
选材：

这节课“鸡兔同笼”问题在苏教版中是在六下，追求的是“假设调整”的策略；在人教版是在四下的数学广角；在初中是在列方程解。苏教版追求的是策略，人教版追求的是让学生习得多种方法，以及感受中国传统数学文化。今天把它放在五年级上，追求是过程、思维、进阶和学生的学习品质。

目标：

1.想通过数字变小，让学生体会到化繁为简的数学探究思想。

2.想通过展示三种解决方法更多地看到学生真实的想法，真实的表达，真实的思维。

3.想通过小锦囊的提示给不同层次的学生提供探索的支点。

4.想通过关联、沟通和学习反思看到学生的进阶。

舍得：

1.在习得解题途径和解题方法之间，重点放在后者。习得知识很重要，但是习得方法和增长见识更重要。

2.在展示典型作品的想法和展示同一种作品不同想法之间，选择后者。

3.在解读专家解释和儿童思考之间，选择儿童的童思、童话、童想。

没想到：

1.没想到学生画图法中还出现了多种想法。

2.没想到小锦囊在不同班级有不同的表现。

三、课堂呈现——路径清晰，精彩灵动。

第一节课：列表整理信息，寻找问题关键

（一）复习回顾，引发策略。

回顾解决问题的四个环节——理解题意，分析数量关系，列式解答，检验反思。复习一个策略和一个新方法——列表整理的策略和倒推检验的方法。

（二）一读题——短时读题，记忆留白。

30秒时间读一遍，找出条件和问题。然后课件留白，学生基本能说出问题，教师将问题整理在黑板上。但大多数不能完整地描述条件，产生进一步整理条件的需求。

（三）二读题——任务引领，整理信息。

出示任务一，要求学生找出表格中的隐藏条件，再把条件和问题简洁、有序地整理在一起。

（四）大展示——聆听不同声音。

单展：不完整的条件，完整的作品。

群展：寻找不同结构（排列顺序不同，都有每小时水位下降12厘米）

把条件用表格的形式填在黑板上。

学生理解后自我修正自己的作品。

修正后再看黑板，把整理过后的条件与原题进行对比，提炼出解决问题的策略——整理信息。

（五）独立解答，检验反思。

出示任务二，独立解答并检验，并对照之前整理的信息，说说自己的想法。

学生展示两种列式方法，结合整理出的信息说一说思路，教师相应板书。两种方法对比检验。

最后总结反思一节课的收获。

第二节课：数形结合重勾联，方法多样长智慧。

（一）提出问题，初步尝试。

出示“鸡兔同笼”问题，让学生从文言文翻译成白话文，整理条件和问题，并尝试完成。学生感受到比较困难，顺势化繁为简，将问题简化后让学生再尝试。

（二）寻找方法，感悟策略。

学生自主尝试用不同方法解决问题，教师根据学生情况适时提供小锦囊，给予帮助。

画图法
1.先画4只鸡和4只兔，再调整
2.先全画8只兔，再调整
3.先全画8只鸡，再调整
4.先画一组鸡和兔，再调整
计算法

计算法随着画图法相机出现，让学生结合图解释算式的含义。

1.先假设全部都是鸡，2×8=16（只），26-16=10（只），4-2=2（只），兔:10÷2=5（只）鸡：8-5=3只
2.先假设全部都是兔，4×8=32（只），32-26=6（只），4-2=2（只），鸡:6÷2=3（只）兔：8-3=5只。

列表法

1.列表：1/7,2/6,3/5……
2.列表：7/1,6/2,5/3……
3.列表：有序，但重复列举
4.列表：4/4,3/5

（三）作品勾联，图式结合。

将画图法与计算法进行对比关联，在画图中理解算式的意义，在算式中回忆画图的方法。让学生体会到三种方法的区别和联系：无论哪一种方法，第一步都是假设。

（四）首尾呼应，画龙点睛。

掌握方法和策略后，再回到开始的古文情境，解决古文中的问题。既是趁热打铁的练习，又是首尾呼应，为整节课画龙点睛。

四、质疑研讨——思维碰撞，再掀高潮。

 本着真教研、真思考、真参与的原则，现场采取电脑摇号的方式随机抽取幸运老师来谈一谈自己的思考和疑惑，当然，收获和奖品一个都不能少。让我们先来听一听他们的声音。

毛善琴老师对第二节课小锦囊内是什么表达了好奇，同时也思考了洪老师对展示的序的问题的疑惑，到底哪一种方式对比比较好？另外，人教版教材和苏教版不太一样，孩子的起点也不一样，孩子在哪里？去哪里？怎么去？人教版是四下的内容，苏教版在六上，苏教版有方程的解法，但是人教版没有，方程也是一种假设的方法。人教版用到苏教版，怎样把不同版本契合？不同的版本有同样的内容，怎样把它们嫁接到苏教版中？毛老师还对第一节课的大板块设计表达了赞赏，但同时也表达了在大板块教学中自己的孩子能不能走下去的疑问，因为学情不同，如果应用到自己班的孩子，怎样改一改，让稍微弱一点的孩子更能接受？

张雷副校长补充了一点：解决问题的策略中要掌握策略，应用策略，要让孩子养成自觉运用策略，这一点在课堂上如何去体现落实，让孩子养成自觉运用策略的意识？

何莹莹老师表示，教师的教学设计是基于学情，基于证据的，大家都关注到洪老师在课上几次对数据进行统计，第一次是刚上课的时候统计了有想法的有多少人，没有头绪的有多少人，后面又统计了一次，让前后有了对比，这一点就是基于证据的课堂的严谨性，我们的教学是基于学生的学情的，而且是有证可寻的。其次，学生的思维是可视化的，洪老师在展示学生作品的时候，始终把图和算式放在一起，对于算式很多孩子没有办法理解那么透彻，如果把图和算式放在一起，会更加直观，理解起来也更容易，这是一种数形结合的思想，而且同时也让我们看到了孩子思维的过程。何老师还表达了自己团队的一些想法，在整节课的最后，当数据比较大的时候，画图或列举的方法不太合适，可不可以增加一点方法的优化。

史玥琦老师对两位老师表达了敬佩，愿意给时间给空间让学生去探究，大板块的教学，一步一步地让学生有了进阶。每个环节都有精准提问，让学生有了不同想法，展示不同作品。同时也提出了一点疑问，对于这样的大板块教学，平时的课堂上是不是能够很好地运用，比如时间不够用等，今天的课堂其实已经不是学霸的课堂了，已经关注了一些后进生的作品，但是如何更关注后进生语言表达的提高和思维进阶，值得思考。

项目组的各位老师都是有备而来，他们也提出了自己的思考，让我们听一听他们的声音。

狄成平副校长对第二节课提出了五点赞赏：

1.通过孙子算经，提出问题，激发了学生的挑战欲望，也铺垫了“化繁为简”的策略。

2.数形结合，理解算法。关于三种方法序的问题，处理得比较到位。

3.从动作过程来理解和突破教材的难点。

4.真展示学生的想法，深入揭示规律，给学生充分表达的机会。

5.沟通方法之间的联系，对三类方法的比较，都渗透着假设的策略。

同时提出了三点想法：

 1.如何立序。对于学生真实的想法可能不只有这三种，经过测试，学生用的方法最多的是凑出来的，其次是计算假设的方法，第三种方法是列举，第四种方法是列方程。这些方法要不要都展示，如果展示，怎么立序？

2.我们教学的着力点到底是什么，这节课是假设，可能更完美一点的是假设调整而不是假设。最难的不是假设，而是调整，我们应该把着力点放在调整上。如何让我们的学生从已有的现实状态引入到让学生去发现调整的方法？

3.这节课教完之后的效果到底怎么样？如果把上完课后学生的作品收上来批改，做对的到底有多少人？这部分内容和人教版中的数学广角不一样，作为苏教版六下教材中的内容必然是评价的内容。另外，面对难题时，学生心理的适应能力，不放弃、执着挑战的精神需要我们去培养。

黄元华主任的听课感悟是“显策略之智慧，播种子之课堂”。

       1.审题，读得精彩，让课堂变得简约而不简单，第一节课，初读——印在脑海中的条件和问题，想读——找隐藏的条件，简洁有序地整理，并进行群展共享。

       2.板块设计，大问题驱动，小问题追问。

       3.自我修正。第一节课中让没有完全整理出来的学生自我修正，获得进阶的机会。

       4.图式关联，进行素养的培养。

       5.深度学习的体验。

       同时提出了一点想法：孩子列举出七种，在总结时为什么不推出另外一种可能:8/0，这里的8/0就是提炼出了假设的方法，并能够与计算的方法很好的沟通。

 

       冯怀勇主任认为关键是我们要面对所有学生，要让所有学生都知道怎么去求多少只鸡，多少只兔。学生面对这样的问题，肯定是有困难，学生的困难是不敢。所以关键的问题是，要大胆地让学生去假设鸡多少只，兔多少只。可以让学生大胆地把自己的假设写出来，这几种素材呈现出来后，大家集中讨论，发现问题，再尝试解决问题。学生就会自主去掉腿，或者添上腿。教师这时针对学生发现的问题，引导他们探讨，这么多情况都凑出来26只腿，他们是怎么凑的，其中有什么规律呢？这里就是后面算式的思考过程。所以开始不主张算式的方法，画图这么多方式都能解决，所以一般的学生都有信心。第二个环节假设的表格第一列如果出现8和0，这时怎么解决呢？有了前面的经验，学生会继续填表归纳，统一解决，这样学生就会发现，都是除以2，学生会自己去调整。

       所以第一步，假设，第二步，算差距，第三步，调整。这时，让学生用算式表示出来，再让学生用图解释算式。让学生勇敢地踏出第一步，只要学生假设了，就能解决，不管什么假设，只要是合理的假设，都能找到解决的方法。这就是以学为主的方式。

 

谢跬老师提出了两个问题：

1.我们基于什么样的证据？是只出现在课堂里的证据吗？

关于第一个问题，对于第二节课有一些想法。这节课的思想是假设法，假设法的内涵是什么？这节课出现了三种趋势，一个是假设极大值，一个是假设极小值，还有一个是假设均值。如果假设的这个数是一个自变量的话，那么整个自变量的范围都应该是有的，不管假设几只鸡，在自变量的范围内都是可以的，这是假设在它的范围的内涵。同时，除了假设鸡和兔各有多少只之外，假设法应该还有其它的。假设法的内涵上还有许多的探究空间，对于班上的50个孩子，它所呈现出来的证据，我们说它是基于儿童的，但它是不是基于学科的？是不是基于整个知识点的？都有待商榷。不能因为一个班的孩子，他们想到的问题相对非常有限，然后就不讲其它的。所以基于什么样的证据，首先是基于儿童在课堂上生成出来的资源，其次它一定要将学科的本质结合起来。

2.基于这样的证据，我们做什么样的改进？

关于第二个问题，有个老师刚刚提到说，在小学阶段我们用假设法是可以的，但是在初中用假设法会被打叉。那么在小学已经学过假设法的情况下，为什么初中还要学习用方程和方程组来解决？其实这只是一个从特殊值到一般值的过程而已。而在小学阶段接触的主要是整数，在假设的范围之内，我们是可以解决的，但是到了初中，接触的更多是分数，是小数，是负数，这时假设法就没有办法发挥它的优势了。在这个情况下我们需要一般的方法来解决问题。

五、专家解惑——思之念之，愈发有味。

金海月博士：两位老师的课，有几点印象深刻。

第一节课袁老师很有意识去培养学生的读题，能看出老师精心的设计。从课堂的表现中也能看出来，第一遍读的时候，读完老师把题目空白了，让学生去表述得到的条件和问题是什么，学生的回答更多的是通过记忆来的，学生读题如果没有想法的话是没有办法来做题的。第二遍读题的时候让学生尝试简洁地把条件和问题对应起来。根据课堂上观察到的证据，一位学生直接列式解答了。还有一位学生解完题，接着做任务二了。这里可不可以对学习单做进一步的调整，比如以填空的形式让学生填条件和问题。这个细节也可以让我们对证据多角度思考，可能老师们课堂上很难关注到这些细节，所以这也需要团队在磨课的过程中去不断总结和发现。

第二节课洪老师非常敏锐地捕捉到学生可能遇到的问题，并且在关键时候追问，这个过程能够体现出对学生思维显性化的意识和要求。关于小锦囊的策略，课堂上有部分学生总是扮演着旁观者的角色，很难去参与到学习活动中，小锦囊可以让学生尽可能多的参与到课堂，给他一个支点。同时，小锦囊的利用对于搜寻证据也是有用的，之前很多课上老师们在搜寻证据时花费了大量的时间，而现在有了小锦囊可以更有效地找到证据。另外，在什么时候告诉学生有小锦囊也很关键，可能有一部分学生出于好奇，向老师寻求小锦囊，放弃了自己原本的思路。

郭庆松老师：任重道远，踏浪前行。

郭老师赞赏大家的教研文化正在形成，在工作中聚焦着一些问题在做思考。两位老师共通的地方在于，不管是多难的课，一定要是站在学生的立场，一定是深入到学生在这个立场上是怎么想，学生这么想之后怎么处理，这是课堂的立意。像这样解决问题的课，一定是有一个总的部署，就是课堂的“魂”。

第一节课，解决这样的问题，总体的步骤是什么？关键点在哪？第二节课，解决这样复杂的问题，可能出现哪些方法？这些方法之间构成的怎样的关系？背后的数学本质是什么？这些问题两位老师都抓的很好。

郭老师认为，解决问题的课值得我们好好研究，比如解决问题需要我们教到什么程度？这里面本质的东西究竟是什么？可能不是最终形成公式或模式性的东西。究竟教什么呢？关于第一节课，学生面对题目，是不是有需求去列表整理信息？列表是不是策略？这些问题值得我们去思考。只要学生能有条理地把条件和问题列出来，就没有必要再去强调表格，这里更应该重视整理条件和问题的过程，至于形式，不一定非要用列表。关于第二节课，相比于画图、列表这些方法，可能学生去尝试、去调整的体验要更多一些。让学生聚焦于尝试和调整上，不拘泥于画图、列表等方法的形式化。

有几个方面需要大家反思：

1.解决问题的能力应该是在学生解决问题的过程中形成的。

2.要有一个简单的变式让学生经历完整的体验。

3.回到数学的角度理解教学内容的本质。

郭老师最后鼓励大家：解决问题的教学很有难度，任重道远，还是需要大家再研究。

六、回顾展望——以待天曙，渐近光明。

赵老师首先对郭老师和金博士表达了感谢，也为一直坚守在会场的老师们点赞，展示了浦口小学数学教育人热爱学习、刻苦钻研的优秀品格。赵老师对本次活动进行了三点总结。

1.我们在哪儿？
（1）立意角度：

①基于课标理念，聚焦核心素养；
②基于课本素材，理解数学本质；
③基于认知规律，经历学习历程。
（2）架构方面：

①大板块：有统领性的大问题，有整合性的大任务，有弹性的活学材，有逻辑的挑战序；
②大展示：学生的表达，学生的倾听，学生的评价，学生的关联，学生的反思；
③大练习：有基本题，有变式题，有拓展题。少而精，先浓缩后舒展。
（3）呈现角度：看得见过程，看得见思维，看得见进阶，体现学生的真学习。
2.我们往哪去？

基于问题：

①不均衡、不充分的专业供给与良好的数学教育需求有距离； 

②高阶思维能力尚有不足（如理解和解释，猜想和推理，提出问题与解决非常规问题等能力需要重视和培养）；

③基于证据的课堂设计能力，执教时的话语系统，操作中的时间效率。

3.我们怎么去？
建立机制：
①聚焦课堂研究；
②搭建学习平台；
③评价改革倒逼。
赵老师最后还鼓励大家：这条路很不容易走，我们大家在一起一道前行！
赵老师的话一字一句，坚实了浦口数学人前进的勇气和脚步。思索，继续不断的思索，以待天曙，渐近乃间光明。

七、思考延续——追梦逐梦，坚毅前行。

满载一船秋色，平铺十里湖光。华灯初上，依旧余音绕梁、不绝于耳。路灯的光芒映照着一群肩负着重任担当前行的匆匆身影，那，不是离散，因为，新的征途又开始了……