测度与概率教程

任佳刚

                                    前言

  

想起来是那样遥远------从Lebesgue发表他的建立我们现在称之为Lebesgue测度与积分的几页纸的划时代的论文算起，一个多世纪过去了. 一百年春风秋雨, 一百年春华秋实, Lebesgue的工作经受住了时间和实践的检验------这个当年虽然茁壮但却幼小的禾苗长成了枝繁叶茂的大树------它的枝叶荫及了 现代数学中的许多领域. 回望来路, 我们可以看到许多大大小小的数学家在树下辛勤劳作的身影; 展望未来, 它将长久地为后来者 提供庇荫.

人们为什么需要它? 有无穷多条理由. 我们只要看一下概率论的情况就可以了.

在日常生活使用的数学术语中, “概率”恐怕是出现频率最高的词之一了， 也许连“之一”也 可以去掉. 虽然对古典概型而言,理解“概率”只需要直观经验, 然而要真正从数学上严格定“概率”这个概念, 却绝非易事------这正如我们在生活中经常 使用“力”这个词, 但物理上的“力”却是另有含义并有严密的分类的；也正如对电和磁的阴阳极概念的划分与研究不能像易经 那样大而化之. 事实上, 将概率公理化是如此的重要与困难, 以至于它包含在希尔伯特的23 个数学问题中; 而这一任务的完成则归功于另一位数学巨人------Andrey Nikolaevich Kolmogorov. 而他之所以能完成这一任务, 是因为他独具慧眼地站在了第三位巨人也就是Lebesgue 的肩膀上.

现在大学本科的初等概率论的标准教材几乎都是使用Kolmogorov 的公理化体系来讲述概率论的．因而我们知道了, 概率云云, 无非就是一个定义在样本空间上的测度. 然而, 初等概率论中讲述了许多没有严格证明的结论．例如, 我们都学过下面这个结论：设\xi为一连续型随机变量, 分布密度函数为f, 则对于任意Borel可测函数$F$, F(\xi)也为随机变量且

E[F(\xi)]=\int F(x)f(x)dx.

一般教材并没有给出这个结论的证明. 这倒不是所有的作者们不约而同地忽视了这个问题, 而是因为只凭初等概率的知识是无法证明的. 再如, 我们学过独立随机变量序列的种种性质, 但却“忽略”了一个基本问题： 这种序列是否存在? 如果它们根本就不存在的话, 我们所学的一切岂不全是空中楼阁? 还有,如果你足够细心, 你应该注意到了在那里只对连续型和离散型的随机变量定义了条件数学期望. 那么,一般的呢?

当然所有这些并不是粗心所造成的忽略, 而是在初等概率论中, 根本就无法回答这些问题．

而有了测度论, 就可以严格地解决这些问题. 当然, 历史的发展证明, 测度论对概率论的作用远不止于此. 并且, 事情起了、正在起、还会起------变化：概率论的需求反过来又推动了测度论的发展. 例如, 对随机变量的分布律的密度的研究就激发了测度空间上微分理论的建立. 并且, 谁知道呢, 概率论的需求不是建立测度论的原始动力之一? 我们的意思是说, 想想Borel吧．他是Lebesgue的老师, 建立了如下的强大数定律：以\mu_n表示Bernoulli试验中前n次试验成功的次数, 那么

P\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\mu_n}{n}=p\right)=1.

你学习这个结果时一定不会纠结, 但我们猜Borel一定纠结过：左边的那个概率到底 有没有意义? 也就是说P后面的那一摊子究竟是不是事件? 你要知道那时Kolmogorov还没有横空出世！Borel---大数定律---Lebesgue---Kolmogorov, 藏在漂亮的 概率论的测度化公理体系后面的历史迷雾, 谁, 能够拨开?

大江东去, 浪淘尽............这是苏轼说的．

测度论是如此重要, 以致这方面的鸿篇巨著和讲义可谓是汗牛充栋了．那么, 我们为什么还要写本书, 我们有什么必要写本书?

我们心目中的读者对象是平庸如我们的人．所以, 如果你足够聪明, 你可以直接去读本书后面参考文献所列的优秀专著或教本,而不必读这本小讲义．此外, 内容的选取也受到课时的限制．如果你有足够的时间去学习更多的知识, 你依然可以直接去读这些专著．请原谅 我们没有列出P. R. Halmos的著作Measure Theory. 时光飞逝, 这部哺育了包括本书作者之一在内的几代人的经典, 从现代的观点和需求来看, 也许有点老了．

呜呼, 光阴荏苒, 谁能不老呢?

这里的内容都是从现存的各种著述中取材的, 不同的只是编排上的区别而已．在学习、运用和讲授测度论的过程中, 对我们产生影响较大的有参考文献中列出的和没有列出的许多著作．这些影响渗透在本书中的各个角落, 恕不一一标明了．此外就是加上了一些自己的理解．我们愿意将自己的理解拿出来和读者分享, 就是因为它们是我们自己的学习心得, 哪怕是不完善的心得,
也愿意拿出来接受读者的指正．

我们没有弄巧成拙吗, 没有画蛇添足吗, 没有歪批三国吗, 没有犯低级错误而留下 笑柄吗, 没有犯不那么低级的错误而误人子弟吗? 这一切只能留待时间、实践和读者 的检验了．我们诚惶诚恐, 如履薄冰．唯一让我们有勇气同意出版它的理由是来自朋友、学生和科学出版社编辑的热情鼓励．

因此我们非常感谢：

1．阅读和使用过本书不同阶段的初稿的朋友们, 特别是刘继成、徐嗣棪、张华和黄永辉, 他们对各个阶段的粗糙的初稿的肯定给予了我们写作本书的信心和勇气, 他们细心地发现并指出了初稿中的许多错误和模糊之处, 并提出了很多改进意见；　

2．使用过本书作为教材的各个年级的学生们, 特别是李悦、杨芳、张为正、崔勇、王圣 等同学, 他们提出的疑问和建议以及发现的错误促进了本书质量的改善; 特别是王圣, 他非常仔细地核对了所有的习题并撰写了答案.

3．科学出版社李欣编辑．没有她的建议和鼓励,我们根本不会想到整理这份讲义．　


4. 国家自然科学基金(No.11471340, 11671408, 11871484)的资助．

当然, 对依然剩下来的问题, 我们自己要负全责．由于使用电脑写作, 修改起 来特别方便, 所以每看一遍都觉得有值得修改的地方, 永远也改不够．但显然, 我们必须 有一个停时．所以, 我们就在这里停下来, 剩下的缺憾和错误, 就留待读者指教, 这里先表示感谢！

在本书完稿之际, 我们特别怀念我们的老师, 法国科学院已故院士, 随机变分学(Malliavin  Calculus)的创始人Paul Malliavin 教授．他言传身教, 教导我们刻苦学习, 勤奋工作, 献身科学．谨以这本不成样子的小书, 作为一朵无名的小花, 敬献于他的灵前------他离开我们已经八年了．

哦, 一年又一年.........

任佳刚, 巫静
广州, 2018年7月