模型思维情愫，破压轴题百千（文30）.

微风

　解题智慧依赖问题情景化下的模型知识

中考数学成绩要上达高分台阶，必须重视数学思想方法的学习理解。因为解题能力的诀窍、捷径、聪明都在解题的灵魂→数学思想方法里。学习事关从本质上，大局上去分析问题、解决问题的数学思想方法，给人的感觉是“虚飘飘”的。这种很正常的感觉，源自于数学思想方法属可以意会难以言传的隐性知识。所以，一以贯之地勤于反思，才能把自己解决问题时的一些有效方法感悟，与老师讲述的那些看似较为模糊的“神话式”的思想方法，在善于反思中逐渐产生深刻而持久的影响，从而在静思善悟中慢慢提升解题的思维品质，逐渐感到用那些“有点虚”的思想去解决问题是很自然的事，是能够操纵的“不虚”方法。所以，在已经获得答案的解题后，再折腾试题，从而知晓并理解试题的题型设计结构，提炼出试题的一些特质情景，总结出解答此类问题的思维核心意境和关键思考点，很必要，很重要。

解题是一个充满智慧和创造力的活动。提高解题效率必须注意试题的复杂性；情境性；意境性。

试题的“复杂性”也即“综合性”。因为选拔性试题一定是由多个基本问题综合而成的。所以，支撑解题能力的关键之一是：具有从复杂问题信息中辨识出、拆分出基本的、熟悉的问题情境能力。

要想拥有知晓并理解综合题的题型设计结构能力，就必须掌控尽可能多的、属于自己心知肚明的常见常用问题情景。所以，学好数学要特别重视对问题情景性的认知。一个人拥有的情景知识系统中，储存的问题情景越是即多又清晰、既单一又综合，才能优雅地温暖、激活诸多冰冷的公式、定理自觉自然地冲锋陷阵于解析活动。所以，解题的幸福和笑容写在脸上，常常是因为辨识到了熟悉的，或者是可借鉴，可移植的过去式问题情景，于是从自己的解题经验银行中提取出相应的思维策略、意境去寻找解析出路时，感觉很顺畅、很舒畅。 所以，情景知识有缺陷，思维意境难发展，解题能力无根基。所以，绝大多数人解题能力弱的根本性原因，是情景知识系统里的问题情境欠缺，浅显，不丰满丰厚。

解题智慧即依赖情景知识，也同时依靠着思维意境认知系统。拥有配套于问题情景的那些通性通法的，模型性的思维策略、意境，才能根据问题情景，智慧地提取解题经验和有策略、有意境的思维感情去打通解析通道。

本文，将以重庆今年的几何压轴题为例，谈良好的情景认知，是怎样去逆行命题者巧妙组合的基本问题，从而在辨识到那些基本的模型情景后，用平时就建立了深厚感情的思维意境去破题。

一、面对综合性的试题，不能“闹中不冷静”，也不能“孤独生恐惧”。

几何是研究图形的学科。当较多的线段，角，三角形，四边形“挤”在一起时，要冷静地从这些热闹的场景中，去观察思考混在其中的基本图形和等待完善激活的基本图形.

当已知或者待探究的线段、或者角比较孤独地出现在背景图中时，要不慌张地思考：能否变换到“热闹”的地方去，使得与那些朋友圈的线、角、形共舞。或者邀请一些盟友般的线、角、形“过来”，一起搭建解析活动的舞台。

例如，如图1，在平行四边形ABCD中，BE⊥BC交AD于E，且BE=BC，CF平分∠BCD交AB于F，交BE于G，连接EF.

(1) 若∠A=60°，CG=4，求EF的长；

(2) 如图2，若BM平分∠ABE交GF于点M，且EF=GB，求证:AE+√2 FM=CD.

　　此试题的三条结论线段AE、FM、CD都给人较孤单的感觉。则思维策略是：在它们周边努力发现或者创造盟友般的线、角、形，然后与它们一起搭建出解析活动的形或型图形舞台.

为防止后继阅读犯困，这里就不解析了。只提醒几点：

1、见平行线，给对方方便。

2、由数量√2思什么形？

3、从那一条题眼线段入手观察思考？

4、退到哪些点、线去捕捉形或者创造形？

5、利用一些基本形变换某些线段后，要对有关线段进行“比较性”的思维，以获得后续解析的发展方向。

发现情景很重要，提取思维意境要敏锐。要自信，解此题的情景被捕捉到了，同时，让那些思想同、道法同的思维意境进入破题思路，这道有难度的试题，就难以拦住自己。

为了，提高反思能力，先进行建设一个使情景知识和模型思维知识系统化的研究.

二、 从放置在一条直线上的直角，迈向优美的《一线三等角模型》

　　以此“一线一直角”的基本情景，开始建设模型知识系统下的变式情景和配套的思维意境。

配套意境：由平角和三角形的两个180°知识，得∠1=∠A，

即点P处的角“翻越”到不是那一线L上的点A处。（∠1不是平着移动为∠A）.

配套意境：(1)∠1翻越为∠A，

∠2翻越为∠B，

（2）△ACP∽△PDB，

且CP翻越对应DB，

PD翻越对应AC.

所以，有等积式：（即四线数量关系）

远端线段之积AC·BD=近端线段之积PC·PD.

或者说：非共点两线之积=共点两线之积。

注：对一些相似三角形模型的线段比例关系式，以等积式的形式记忆，便于解析的思考和计算.

4、如上图，再增加情景条件：有一组对应线段相等。例如AP=BP.

配套意境：△ACP≌△PDB，

即：一线三等角+等线→全等三角形.

这就是人们俗称的“K”模型。但我认为一次就到位地简称为《一线三等角模型》，更有突显条件情景的优雅思维深意。

5、《一线三等角模型》的一般情景

“一线三等角”不配等线→相似三角形.

6、《一线三等角模型》的常见应用

（1）已知：△PAB是等腰直角三角形，过直角顶点P作一条直线L，过点A、B分别作直线L的垂线AC、BD. 探究BD、AC、CD之间相等数量关系。

思维意境：显然有直线L在△PAB“外”的图1或者为“内分角线”的图2两种情景，

但始终有△ACP≌△PDB下的

PC=BD，CA=PD，

所以，如图1，有BD+AC=CD，

如图2，有|BD-AC|=CD。

注意：

1、显然图2仍旧具有一线三等角的情景特质，但已经不适合称为“K”模型了。所以，从建设一个模型知识系统的高度着眼，称为《一线三等角》是有远见的模型建构认知.

图1，图2中的两个全等三角形，分别在直线L的同侧，异侧，所以，务心认识到《一线三等角模型》有同侧情景和异侧情景两大类。

2、全等时的三线关系：

同（侧）加，异（侧）减.

3、两个三角形的线段对应关系：

一线（L）上的线段对应非一线（L）上的线段.

即：PC对应BD，PD对应AC.

熟练地识别线段的对应关系，在传导，计算线段时，能有更良好的思维远见.

特别是在异侧型时，对此线段对应细节的撑控，更要一眼能辩识.

反思：

1、在这个异侧型的《一线三等角模型》中，PB与AB的对应情景是：两腰线端点“倒置”重合.

即PB的端点P、B对应点是AP的端点A、P.

所以，两个全等三角形是在腰线的带领下“倒点重合”全等的.认知了这一情景细节，在添线造形时，才不会“乱来”.

2、本题的情景和思维意境，是可以衍生千万题的一个母题。所以，应将对此母题的“靠腰三角形倒点重合”感悟，存入解题经验银行.

恕我直言，某地极知名的一所重点校的老师，可能就是缺失了对这个母题的良好认知，就命制了一个“乱来”的“倒点重合”综合试题，从而在互联网上“乱飞”.

应用举例：

例1、（2012年长春）感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）

拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边

AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，

求证：△ABE≌△CAF．

应用：如图③，在等腰三角形ABC中，

AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若

△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为__________ ．

观察与思考：这就是上面的母题衍生试题.

图1问题的情景：AE是等腰直角△ABD的内分角线，且有∠DAB=∠DGE=∠BFE=90°，

注意：看等角的细节是：角点为G、F的两个等角，是往射线AE方向看.

思维意境：提取《一线三等角》的全等三角形意境，可知△ADG≌△BAF．

同理，图2问题的情景：AD是等腰△ABC的内分角线，且有∠1=∠2=∠BAC，

所以，读完题设条件，就知是异侧型的《一线三等角模型》.立即提取配套的全等意境，

知△ABE≌△CAF．

同理，图3问题中，捕捉到有以一般性的等腰三角形为基础，生成的异侧型《一线三等角模型》，所以，秒杀△ABE≌△CAF后，得到

△ABE与△CAF的面积相等。

∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积.

又CD=2BD，所以BD:CD=1:2

△ABD与△ADC等高（点A到BC的距离）

所以，它们的面积比=底边比=1:2,

因为总面积是△ABC的面积为9，

所以，△ADC的面积为6；

∴△ABE与△CDF的面积之和

=△ADC的面积=6。

很多基础性情境的问题都具有延伸性.中考命题者的压轴题，实际上就是利用这些延伸性去命制的。所以，拥有模型知识系统的学习，和创造，你就有了将基本性问题延伸的思维习惯和思维意境.那些需要思维力度的综合题，就会在你审视、分解为蕴含着基础性问题的读懂、捕捉情境特征中，用感觉到的基本问题的延伸性和方向性，以及配套的丰富策略性思维意境快捷破解。

例2、如图在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且∠BED=2∠CED=∠BAC．

（1）若∠BAC=90°，猜想DB与DC的数量关系为________；

（2）如图2，若∠BAC=60°，猜想DB与DC的数量关系，并证明你的结论；

（3）若∠BAC=α°，猜DB与DC的数量关系．并证明你的结论。

　　这是一道可以复制解析意境，去解析一大片试题的前面那道母题的衍生试题.为了提高思维水平，我们只探究∠BAC=α°时的第（3）小问。

观察与思考：

情境很重要，没有情景，意境不来。

发现情景，提取意境，解析前进，

再看情景，再配意境，陪题玩耍。

问题情景：1、AD是分角线，

2、AD线上已知两个等角∠BED=∠BAC．

意识到具有《一线三等角模型》的基因。即这是不完整的《一线三等角模型》异侧型情景。 命题者是在考查辩识模型的能力，是在用延伸基本模型的巧妙在考查解题者的思维能力和智慧.

思维意境：已经看到优美的《一线三等角模型》家门，且能不进去与这个基本模型进行优雅的“型思维”对话；且能不赶快添加助型线创造出那一线AD上潜水的第三个等角.。

思维意境是：使得分角线AD上有三个等角：

∠CFD=∠BAC=∠BED，

有远见的“看到”稍后的两三角形全等，会出现“一线上的线段=非一线上的线段”，

即会有AF=BE的对应关系出现，所以，辅助线叙述为：在射线AD上截取AF=BE，连接CF，（细节知识放光彩）

然后提取“分角线上有等角，立即导出“新等角”的意境，导得∠1=∠2，

又AC=AB，则△ACF≌△BAE(SAS)

后续的解析方向向哪里延伸？

情景：有2倍角∠BED=2∠CED关系，

则有∠CFD=2∠CED的图形情景。

这是什么情景？

退到角点E，F观察后知，这是等腰三角形产生的倍角情景，

思维意境，△FEC是等腰三角形，∴FC=EF=AE,

所以，AF=AE+EF=2CF,

∴BE=2CF。

这时，又有什么情景呈现？

BD线段的两端分别链接着BE=2CF的两条比例线段。

可提取什么思维意境？

点D是BD的分点，BD的两端链接着2:1的线段，则构造“平8相似”模型。

则∠BED=∠G=∠CFD,

所以CG=CF,

∴BD:CD=BE:CG=BE:CF=2,

所以BD=2CD.

所以，BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关。

即，三个小问都能用同样的道法得到BD=2CD.

增强建设模型知识系统的意识和能力，就能在一类问题一种模型，一片情境的数学思维乐趣中，得到试题不同，思想同、道法同的快乐解题享受，

数学思想方法并不神秘，它蕴藏在解题活动中.本题将三个基本问题综合在一起，考查着从《一线三等角模型》走向《等腰三角形》模形，再迈向《平8相似形》模型的基础思维能力和先解决一个基本模型，然后再依题的情景延伸思考的解题智慧和冷静.

此题，也是前面那道母题的衍生题.

不要大多数时间都在匆忙做题，给试题一个转身回眸的反思微笑，让零散的情景知识系统化，让配套的思维意境丰满丰厚，就不会陷入高喊减负提质的虚假作为和解题能力从何来的困惑中。

情景正则意境通，意境通则解法明，解法明则可随情任性地提取书本的规则性知识，讲述知其模型后的思维故事。

情景知识不发展，思维意境难发展，

情景知识不系统，解题能力缺陷多。

如图，在△ABC中，AB=AC=2，

∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E． （1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

（2）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．

观察与思考：

1、标准的《一线三等角模型》.

所以，△ABD∽△DCE，且DC翻越后的对应边是AB.

所以DC=AB=2时，△ABD≌△DCE，

2、∠BDA翻越后的对应角是∠DEC，

而∠DEC=∠ADE+∠EAD，

∴当△ADE是等腰三角形时，

（1）若∠ADE是顶角，则∠EAD=70°，

所以，∠DEC=110°=∠BDA，

（2）若∠ADE是底角，则另一个底角只能是

∠EAD=40°，（思考为什么？）

所以，∠DEC=80°=∠BDA，

∴当∠BDA为110°或者80°时，△ADE是等腰三角形.

反思：

1、 通过以上一个系统化的模型知识建构及多种情景，通用意境的应用，有何体悟？

例如，熟悉线、角的对应关系，导边、导角胜快递.

2、可以称一种形态为“K字”模型，但这样称呼 有缺陷吗？有远见吗？

3、在平面直角坐标系的几函综合题中，在直角情景下的有关计算，一种常用的解析策略如下图所示：

　　听着乐曲《甜蜜的家》，回味一下从渗透→突显→强调→细节→综合应用的建模，用模经历：

从“一线一直角”→一线两直角

→一线三直角→一线三等角

→一线三等角的相似→一线三等角的全等 →同侧或异侧的《一线三等角模型》

→隐去一个等角（或两个等角）的潜水《一线三等角模型》

→综合几个基本图形的应用

→让《一线三等角模型》成为甜蜜的解题之家→学习，创建模型知识系统

→线、角的细节知识

→习得数学思想方法

→书读薄，思想厚，知识有系统

→解题的愉快和玩耍。

《一线三等角模型》是一个应用很广泛，且有很强延伸性的一个几何图形形态.这里仅简略阐述是如何建构这个模型知识系统的.

千题万题， 命题老师总是利用模型去命制题。用自已的那些模型思维情愫，去慧见命题者根据模型命制的千万试题，就能与命题者的模型喜相逢在考场上.

例如，用良好的模型思维知识情愫，去解析下面这道选拔性试题，以检查、体悟解题的模型思维智慧是怎样迸发的.

　 如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为______cm.

这是一道有知识体量和思维层次的，有模有样的选拔性试题，且有几种思维策略完全不同的解题通道。其中最优雅的解法就在前述的那些阐述中.当手握住了有模有样的扳机，只要一用力，就能旋开解析出路的那扇神秘莫测的大门，来到一片思路活泛的解题天地。

携手模型思维，打开解题思路.

锤炼添线能力，训练计算思想.

通过此题的解析，希望明白“复习要回归课本”，有时是假命题。