浇灌情景之花 修成意境正果 （旋转碰头三线求和的最小值）（文25）

微风

文前语：缺乏对数学问题的情景研究、 归纳，缺少对一类情景问题匹配通性通法的思维策略、意境，是教与学效率不高的根本原由。希望本文能对此严重缺席问题的解决，能有启迪作用。

上篇文档《环环相扣的整体大局计算智慧》中，最后的那道练习试题，解析顺畅吗？从中，你抓出了何情景？匹配了何意境？ 梳妆了何情景？梳理了何意境？

本篇，以一次函数为背景的”碰头”三线和最小值为范，去修得解析一类几何最小值的意境正果。

　　 碰头三线→等腰旋转的四大效益

如图，一次函数y=-√3 x+ √3的图像与x.轴、y轴分别交于点A、B。在△OAB内部是否存在一点P，使PA+PO+PB有最小值？若不存在，请说明理由。若存在，请求出这个最小值。

问题情景：三条变动线PA、PO、PB共点于P，不妨称为“三线碰头”情景。

1、求三条“碰头”动线PA+PO+PB的最小值

→一类几何最小值问题。

所以，一次函数的解析式和图像的作用是：

提供几何的点丶线、角、形的信息。

求得点A（1，0），是B（0，√3），

从而知道线段OA=1，OB=√3，

∴原点RtΔOAB中，AB=2，∠OAB=60°，

∠OBA=30°，

匹配意境：

1、采摘求几条变动线之和的最小值时，“未链接变为链接” ，折线变为直线的思维正果，产生让“碰头三线变换为链接三线”，再折线变直线的解析意境。

2、怎么变？

将含两条变动线PA、PB的ΔPAB绕点A顺时针旋转60°，得到ΔNAM，连接NP，

3、这样的等腰旋转有什么变和算的效益。

如分析图1，有4大效益.

①变动线AP绕点A顺时针旋转60°形成的特殊等腰ΔAPN，有底边PN=腰PA的线变换效益；

反思：为什么强调ΔAPN是等腰三角形。

②原ΔABP≌旋转后ΔAMN，有变动线PB=NM的线变换效益；

③由以上等腰、全等三角形的动线变换，产生了三条碰头动线变为三条链接折线的形态变换效益；

④在旋转中心A处，有∠0AM=60°+60°=120°的特殊角度效益.则在后续计算时，就能利用有特殊角的直角三角形，产生方便计算的效益.

这4大效益就是“碰头旋转”的底和根.对这些效益的领悟有多深刻的爱，在遇到碰头线的探究问题时，就会爱有多深，解有多畅.

再进行折变直的变化。

如分析图2

∴当O、P、N、M共线时，也即OP、PN丶NM共线时，OP+PN+NM的最小值=OM的值。

∴取最小值时的形态得以确定。则求出OM的值，就大功告成。

采摘让斜线OM成为直角三角形边的思维果实，如解析图，过点M作竖线MC丄x轴于C

计算最小值线段OM.

在RtΔCAM中，∠CAM=180°-∠OAB-∠BAM

=180°-60°-60°=特殊角60°，

∵AM=AB=2，∴AC=1，CM=√3，

∴OC=OA+AC=2，

∴OM²=2²+（√3）²=7，∴OM=√7，

∴PA+PO+PB有最小值，最小值为√7。

注：点P就是所称的“费马点”.

总结提炼：

三线碰头最小值，等腰旋转折变直.

三动线碰头和最小值解析正果

=四大旋转变换效益+解RtΔ

问题情景正，意境才有根；

配套有意境，思路才知底；

知根又知底，破解才容易。

现在，就让知根知底的思维容颜再养心养眼

从解析图可看出，最小值时的形态，实际上是AB旋转60°，变为AM形态.时的OM。所以，当此类问题是选填题时，可画思维到达目的地的简捷草图直接计算.

即只画三线：

1、画AB绕点A顺时针旋转60°，变为AM，

2、画最小值线段OM，

3、画垂线MC，得到计算最小值线段OM的直角ΔOMC.

3、改换旋转方式，追求知识的本质理解.

用同样的思维策略意境，还有另外的答题路径吗？

因为ΔOAB的三个内角都是特殊角，则将某一个含两条动线的三角形绕ΔOAB的任意一个顶点，顺时针或者逆时针旋转60°，都能得到特殊角度的两角和，则后续的最小值线段都能算得。所以，有多种将“碰头”变链接的旋转出路.

例如，将ΔAPO绕点A逆时针旋转时，作MC丄直线BA于C.能够得到∠MAC=60°，AM=AO=1，∴AC=½，

MC=√3/2，∴BC=2+½=5/2，

∴最小值线段BM也方便计算。

BM²=（√3/2）²+（5/2）²=28/4=7，

∴BM的最小值为√7.

再如下草图1，当绕点B进行60°的等腰旋转时，因为点B处的两角和为30°+60°=90°，

∴最小值线段OM直接在RtΔBOM中，

∴OM²=OB²+BM²=（√3）²+2²=7，

则更方便地计算出了OM的最小值为√7.

像绕点B旋转等腰草图2那样，计算也方便.

像解法5，解法6那样绕点O旋转，也是走得通的解法.

综上所述，绕三角形的哪一个角顶点旋转，要想远一点。要从角的视野去“远见”是否能出现有利于计算最小值线段的角.

　　一个人的解题能力，更多地是从题中来，到题中去的情境之花和意境之果。

例如，解如下二次函数背景下的探究问题，采摘过去解题的情境之花和修成的意境之果，破题易如反掌。

如图,在平面直角坐示系中，点A的坐标为

(-1，0)，点B的坐标为(4，0)，经过点A点B的抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式.

(2)△ABC的外接圆与y轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使△MBC与△DBC的面积相等，.

（3）点P是直线y=-x上一个动点，连接PB，

PC，当PB+PC+PO最小时,求点P的坐标及其最小值。

观察与思考

第（1）问情景：点A (-1,0)，B(4，0)在x轴上，

意境：设抛物线的交点式求解.

设抛物线的解析式为y=(x+1)(x-4).

∴抛物线的解析式为y=x²-3x-4.

第（2）问的情景和思维策略意境

情景1、由三个点A (-1，0)，B(4，0)， C(0，4)的坐标得三条线段的长度.

OA=1，OB=4，OC=4，

∴OB=OC，原点△OBC是等腰直角三角形，

意境1、直线BC的解析式是y=x-4,

情景2、△MBC与△DBC的有共同的底边BC，且面积相等。

意境2、这是常见的：基本问题，逆向命制.

采摘“同底的两个三角形面积相等→第三顶点在平行于同底边所在直线上”的思维意境正果，知点M在过点D且与BC平行的直线DM上.

则问题转化为求点D的坐标。

注意：考虑直线BC下方的平行线时，可看出不存在满足等于点D到直线BC距离的平行线与抛物线相交.

情景3、△ABC的外接圆与y轴交于点D.

意境3、出现四点共圆，应联想导角和算线的知识果实.

因必须关注点D，所以关心OD的值.

由相交弦定理知，OD·OC=OA·OB

所以，4OD=1×4，∴OD=1，

∴过点D（0，1）且平行BC：y=x-4的直线DM为： y=x+1，

情景4、抛物线上是否存在点M.

意境4、直线DM与抛物线相交就存在→

直线方程与抛物线方程联立，有解就存在..

將y=x+1代入y=x²-3x-4得:x²-3x-4=x+1,

整理得:x²-4x-5=0，解得x=-1或x=5.

当x=-1时，y=0，∴点M₁为(-1，0).

当x=5时，y=6，∴点M₂为(5，6).

综上所述，点M的坐标为(-1，0)或(5，6).

第（3）问观察与思考

可用去掉圆和抛物线的如下图去分析思考.

情景：三变动线“碰头”于点P.

配套意境：碰头旋转变链接，然后折线变直线

修成的正果：将含两条碰头线的一个三角形，绕等腰ΔOBC的某个顶点旋转60°.

绕那个顶点旋转？

因ΔOBC是等腰直角三角形，所以，绕任意一个顶点旋转，后续的计算都是通道.

这里，就以ΔBOP绕点B顺时针旋转60°为范，省略那些得到最小值的推理，直接用思维到达目的地的最小值CE形态图进行计算.

将ΔBOP绕点B顺时针旋转60°（即作等边ΔBOE），得到的计算分析图如下所示，

此时，有什么计算意境？

1、 PB+PC+PO的最小值=CE的最小值，

2、点P是直线CE与直线y=-X的交点，则采摘

函数图像的交点→函数方程组的解的思维果实，产生求直线CE的解析式的意境.则应先求出点E的坐标.

3、在等边ΔOBE中，BE=OB=4，则用横线BF和竖线EF伴斜线BE的策略去求点E的坐标.

易得OF=BF=2，EF=2√3，

∴点E为（2，2√3），

则由点E和点C的坐标得直线CE为：

y=（√3+2）x-4，

直线CE的解析式与y=-x联立得：

解法2：将ΔOCP绕直角顶点O顺时针旋转60°，

得到Δ…

……

请补充完成此解法2.

　　

如图，已知抛物线y=-⅓x²+5√3/3·x-4 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．连接BC，P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥BC于点H，当PH长度最大时，在∆APB内部有一点M，连接AM、BM、PM，求AM+ √3BM+PM的最小值．

1、函数最值、几何最值的辨识有何经验可提取？

一般地，求线段的最大值应该优先注意是否是函数最值问题，

求线段最小值应该优先注意是否是几何最值问题，

2、问题情景：PH是抛物线形成的弓形内的斜线，且是求最大值，所以这是一个函数最值问题。

思维意境：采摘竖线伴斜线的果实，过点P作

PD∥y轴，交BC于D，交x轴于点E，去求竖线PD的最小值。

3、需先获得直线BC的解析式。

计算过程如下：

3、在求AM+ √3BM+PM的最小值时，为什么一些人是等闲识得东风面，万紫千红总是春的解析顺畅？一些人是问君几多愁，叹息双泪流的解析无奈？究其原因，可能主要是因为非显性线段√3 BM的出现。

若没有修成“三动线碰头要旋转等腰”的知识正果，很容易望而生畏，败下阵来。

所以，借此题认真反思，很有必要。

① 是否是没有“碰头要旋转”的知识储备

②是否是只有“旋转等边三角形”的知识储备缺陷。

即只走到了旋转60°的思维深度.没有认识到旋转变换为三条链接线段后，三条折线的中间那一段，应该是等腰三角形的底边. 即缺失了这样的旋转，是等腰三角形底与腰变换的效益知识.

③是否是没有掌握“顶角为120°的等腰三角形中，底边=√3腰”的隐性深层知识.

缺少对常用隐性深层知识的梳妆打扮，面对非显性线段√3 BM，就会产生迷糊的无能为力.

通畅的思维意境应该是如下解析图所示，

　　问题情景正，意境才有根；

配套有意境，思路才知底；

知根又知底，破解才容易。

强者磨思想，弱者死做题

用从题中来，到题中去的反思修成意境正果.

1、在求几条动线段和的最小值时，面对其中诸多形如3/5AE…√3/2AE， √2AE…的非显性动线段，常用那些变换使它们转变为形如DA的显性线段。

2、若几条变动线段链接着移动的定长线段，那么求这些线段和的最小值时，常用的解析策略意境有哪些？

3、把本题的画图分析和解题书写有序化，修成解此类三条碰头变动线之和的最小值容易化正果.

　 以本题如下解法2为范，修成碰头三动线和的最小值画图5步，板书5说的解析正果.

画图5步：

1、画BA绕点B逆时旋转120°，得到等腰ΔBAK.

2、连接PK，得到最小值线段PK.

3、在Pk上取两点M，N，使ΔBMN为等腰三角形，且ΔBKN从形态上看与ΔBAM全等.

注意：是画草图.不要求精准.

若是选填题，此画步不需要.

4、画出三动线的碰头形态.即连接MA.

这样，取最小值时的形态就画出来了.

5、采摘横竖线伴斜线的思维果实，用玩转斜格线的画法，使最小值线段Pk成为RtΔPKH的斜边.

　　用以上5步画图法，就能很快地画出较标准的解析图.

解析书写5说如下：

1、说旋转：将ΔBAM绕点B顺时针旋转120°，

得到ΔBKN；

2、说等腰：则BM=BN，

∴ΔBMN是等腰三角形，且∠MBN=120°；

3、说变换：∴MN=√3BM，MA=NK；

∴MA+√3BM+MP=NK+MN+MP；

4、说共线：∴当NK、MN、MP共线时，

NK+MN+MP=PK，

∴MA+√3BM+MP的最小值等于PK的值.

5、说计算：

在叙述最小值线段PK的计算时，可不写得太细，有主要计算过程即可。

例如下面的计算之说：

　　对问题的情景和解析思维意境，有梳妆打扮的好习惯（这是学好数学的秘方），解题的能力颜值就会更高、更美.

再次强调：情景正，意境通，修成正果破千题。

碰头最值巧旋转，动线变换折变直。

横线竖线伴斜线，计算最值不惧难。

下面，用修成的解析意境果实，用另一旋转解析通道，按如下图示，解答第2题的第（3）问.

注：计算结果可保留双重根号.

一丶用画图5步画出如上解析草图

二、解析5说：

1、说旋转：将ΔOCP绕点O顺时针旋转60°，

得到ΔOMN；

2、说等腰：……

3、说变换：……

4、说共线：∴当___、 ___、___ 共线时，

PB+PC+PO=___，

∴PB+PC+PO=___的最小值等于___的值.

5、说计算：

叙述计算最小值线段___的主要计算过程。结果可保留双重根号.

　　有色有形的花朵祝你阅读愉快！

后续，让修成的三线踫头情景和旋转变换思维意境，与一些《三线碰头思旋转，变换意境巧斟酌》的变式问题，在深化隐性深层知识的探究中再见.