仰望星空博学善思 脚踏实地潜心钻研——记潘建明初中数学培育站赴礼河实验学校活动

高高

学生

老师

专题

中考

教学

复习

问题

最值

数学

常州市

　　2019年4月24日，草长莺飞，杨柳拂堤，在这样温和疏淡的日子我们江苏省乡村骨干教师“自觉教育”培育站全体成员来到开阔大气、景色优美、成绩斐然的常州市武进区礼河实验学校开展为期半天的集中研修活动。

　　本次活动由礼河实验学校政教处主任顾金峰老师（首届培育站成员）主持。

　　本次活动有张伟俊导师引领，并邀请了武进区教师发展中心于新华教研员作指导。

　　于新华，江苏省数学特级教师、知名解题研究专家，常州市中学数学名师工作室领衔人，中国数学奥赛教练员。在多年的教学实践中，逐步形成“视野开阔，情趣交融；居高临下，深入浅出”的教学风格．多次面向全国师生作数学解题专场讲座。

活动分为教学展示、讲座研讨以及专家点评三个环节

第一环节：课堂展示

湖塘实验中学薛燕：《几何最值问题之阿氏圆》

　　本次活动由我展示研究课，“PA+k·PB”型的最值问题是中考的难点，此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类：点P若在直线上运动则是“胡不归”问题，点P若在圆周上运动则是今天我上课的“阿氏圆”问题。

在教学设计中，在自觉体悟环节我设计了一个共边共角型相似和两条线段系数均为1的最值问题，意图在于为下面问题的解决做好铺垫，同时引出阿氏圆问题。因此第一个问题我带领学生一起解决，通过变式训练让学生领会方法的实质，在两个问题解决的基础上再总结方法步骤。自觉应用中的两个问题的设计注重层次性，让学生在应用中深刻领会解决阿氏圆问题的本质。整节课中，我注重问题的层层递进和对学生的引导，注重方法的总结，让学生有法可依。

每一次活动都是一次锻炼，更是一次学习，备课过程也是一次成长的过程，在今后的工作中，我会继续认真钻研，在教学中不断完善自己。

　　学员评议：

薛燕老师从学生熟悉的共边共角型相似和线段系数为1的最值问题出发，以此为切入口，逐步引导学生寻找两个问题之间的联系，在此铺垫下，薛老师立即引出了其中一条线段不为1的最值问题，学生一下就想到了如何去作辅助线，如何在现有图中构造出共边共角型相似的基本图形。薛老师又逐步提升，将系数进行变化，将线段进行变化，层层递进。在课堂互动中，薛老师不仅注重教师的引导，还鼓励学生大胆上台讲解，我想对于这样一堂难度较大的专题课，老师就应该给予学生更多的耐心和鼓励。充分的自信才能勾起学生对数学的钻研热情。（常州市邹区中学 许凤旦）

本节课以数学史中的一个经典问题——“阿氏圆问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，薛老师通过对共边共角型问题和点圆之间的最大最小距离问题的回顾引入，进而让学生体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，在每个教学环节中，以老师为主导，学生为主体的引导方式由浅入深，使得学生在自主探索中，依靠同伴互助、合作交流的方式，完成预设。重难点的把握准确到位，整堂课学生思维活跃，这也反映出薛老师在教学设计时做足了功课，不仅备课、备学生，还备课堂，做到了胸有成竹。（常州市武进区礼嘉中学 高如玉）

　　吕墅中学郑金华：《路径问题之直线型瓜豆原理》

　　我从接到课题到开设这节课，前后一个星期，经历了艰难的搜集资料、整理资料、备课、磨课、展示过程，收获很多，成长很多，现作简单整理，如下：

瓜豆原理其数学实质是旋转相似，它体现的是一种局部与总体之间的保形变换，由此及彼。本节课的小概念非常多，比如定点、主动点和从动点；定比和定值；主动径和从动径，学生要从不知道到知道，从知道到理解，从理解到应用，这期间对教师的教学充满了挑战，我采用了以题为载体，结合几何语言表达从而理解概念的方法，让学生逐步深入理解并能熟练应用。

本节专题课采用了从特殊到一般的研究方法：在定角a的处理上，从在同一直线上（0°）到90°，45°，30°，60°，120°最后推广到a的取值范围是0°到180°之间；在定比的处理上，从有理数比到无理数比；在动点的运动路径处理上，从无序到有序，从线段到圆弧，从直线到曲线；教学无止境，在追求完美的路上我将继续前行，不断努力。

　　学员评议：

郑金华老师大胆选择了《路径问题之“直线型”瓜豆原理》，为大家呈现了一堂扎实、精彩且富有挑战的示范课。郑老师首先以题目为载体，运用数形结合思想，采用“临界点法”，提炼出“直线型”瓜豆原理的基本图形，得出了瓜豆原理，其次采用特殊到一般的方法归纳出计算从动径的一般步骤：一是找三点（定点、主动点和从动点），二是求定比，三是算从动径（从动径=主动径×定比）。最后借助变式题巩固了瓜豆原理。清晰的教学流程、娴熟的几何画板、精致的板书设计、知能结构的小结等无不彰显郑老师扎实的基本功和较高的综合素养。（常州市新北区浦河实验学校 眭亚燕）

郑金华老师在开始讲解的过程中，先从同学们认知基础入手，从点到线再到面运动，打开学生视野。借助例题，学会寻找定点，主动点和从动点，主动径和从动径，求出定比，最后找到主动径、从动径、定比之间的关系。在这个环节学生发挥了主观能动性，教师退到幕后，效果却更好！在同学们掌握好瓜豆原理的基本型之后，它的变式结论就完全放手给学生去做了。由于前面讲解的透彻，变式的练习学生就轻车上路了。郑老师扎实的课堂教学基本功，熟练的几何画板技巧，都是我学习的榜样。（常州市新北区薛家中学 时红）

郑金华老师的展示课《路径问题——直线型瓜豆原理》首先通过一句谚语：种瓜得瓜，种豆得豆，引起了学生的兴趣和关注。由定点、主动点、从动点在同一直线上到不在同一直线上，深化了从特殊到一般的基本思想，并引出了瓜豆原理——动点运动路径的传递性，使这一节看似复杂的课通俗易懂起来整节课的设计从简单到复杂，从特殊到一般，层层递进。板书设计精巧，重难点在黑板上都有很好的呈现。对于习题讲解，充分的体现了学生的主体地位，在必要时候，可以给予学生适当的点拨，这又体现了教师的主导作用。一类型问题结束后，教师耐心的引导学生总结做题的经验与方法，在本节课的最后又留给学生充分的时间进行相关题型的训练，给了学生足够的消化和理解相关知识点的时间。 通过本次学习，我了解了作为一名教师，需要善于思考，对于难题和易错题要善于总结解题的方式与方法，（常州市东青实验学校 卢彬彬）

　　第二环节：讲座研讨

湖塘实验中学苏红芬：《中考数学专题复习》

　　中考专题复习往往是针对一类问题、一个知识板块或一种思想方法进行研究，从而归纳出解决此类问题的一般方法。在专题复习时，要注重知识的纵横联系、注重变式教学，教会学生以不变应万变。我重点以两个专题为例，展开研讨和交流。

第一个专题是《定角的处理策略》，从特殊的45度角出发，归纳出四种常见方法：1.12345模型2.正切处理构一线三直角型全等3.构一线三等角型相似4.构共边共角型相似，再回归到一般情况，通过分别列举一次函数、反比例函数以及二次函数背景下的定角问题，旨在说明背景只是一个表象，实质还是定点定、一边定、角的大小确定的这一类的定角问题，解决问题的手段还是对定角进行正切处理构一线三直角型相似（全等）。

第二个专题是《线段和差最值问题的处理策略》，我分别列举了七种典型专题，分别是1.翻折变换类——“将军饮马问题”2.平移变换类——“造桥选址”3.旋转拼接变换类——“费马点”4.三角变换类——“胡不归”5.相似变换类——“阿氏圆”6.点圆最值7.线圆最值，其中，我重点就前五类展开了交流，追根溯源，线段和差最值问题的依据是：1.两点之间，线段最短2.点线距离，垂线段最短3.三角形三边之间的关系。此次讲座机会打开研究之门的一扇窗，让我有时间从日常零星、琐碎的教学中静下心来学习和思考，将碎片化的知识融合，使之更具板块化、系统化，也是我从“经验型”教师逐步转化成“反思型”教师的重要转折点。

　　学员评议：

今天苏红芬老师《中考数学专题复习策略研究》的讲座，给我意犹未尽的感觉。从苏老师的“定角的处理策略”和“线段和差的最值问题”中，能充分感受到教师在选题上的用心，精选了新颖、有代表性的题型进行专题训练。专题配合解题方法、数学思想方法的总结，使学生能形成众多“知识链”“方法系列”和“思维模块”，提升了学生能力，使复习更加有效！（常州市北环中学 沈良琴）

苏老师讲了两个方面：策略一：定角的处理，包含12345模型；正切处理构一线三直角型全等；构建一线三等角型相似；构建共边共角型相似，通过讲座使我体会到背景只是一个表象，实质还是定点定、一边定、角的大小确定的这一类的定角问题，解决问题的手段还是对定角进行正切处理构一线三直角型相似（全等），不由得让我大呼过瘾！

策略二：线段和差最值问题的处理，包含：翻折变换类——“将军饮马问题”；平移变换类——“造桥选址”等。著名数学家华罗庚老先生曾经说过：聪明在于学习，天才在于积累，相信通过自己不停的努力，在培育站导师的带领下，在其他组员的帮助下我一定会有更大的进步！（常州市新北区奔牛初级中学 邹凌志）

　　第三环节：专家引领

最后专家点评真正提升了本次活动的品质，实现了资源共享和智慧共创。于新华教研员和张伟俊导师高屋建瓴的点评让学员们受益匪浅，学生的数学核心素养要在思维育养间自然生成，要在方法的融通间自主催生。教师的专业成长更在于平时不断地积累学习、勤奋专研。

　　学员总评：

今天两节都是九年级专题型解题教学课，都结合中考热点和难点，以数学问题为载体，引导学生感受发现、提炼归纳，建构模型、应用拓展、总结深化等多角度，提高学生分析问题的能力和解决问题的水平。苏红芬老师为我们带来的微讲座重点介绍了定角的处理策略和线段和差的最值问题。既示范了专题型解题教学课的模式，又指明了研究专题的方向和策略，极其实用。

于特和张校都强调：没有见多识广的经历和总结提炼，在学生面前讲解题就只能就题论题。苏老师对典型问题力求一题多解、从中找出通法，图文并茂，讲细讲透。苏老师给出的例题面广量大，对方法的总结归纳有自己的思考，我被苏老师深厚的解题教学功力折服。仰望星空博学善思，脚踏实地潜心钻研。（常州市外国语学校 周琦）

薛燕老师和郑金华老师的两节专题复习课是让学生望而生畏的中考难点，也是考频较高的热点问题，我就两位老师的精彩之处作简要点评：

科学设计教学思路，巧妙安排教学环节，从自觉体悟基本模型——自觉运用基本模型——灵活运用变式训练——自觉内化提升能力，脉络清晰，循序渐进，体现了两位老师扎实的教学基本功和平时深厚的教学积累。两位老师都能基于基本模型，基本原理，让学生的思维在此基础上自然生长，发展，是赋予思维生命力的课堂。薛老师从有圆到无圆，从a+kb到ka+b，k的值从小于1到大于1，逐步变式，逐步深入，多角度灵活解决线段和的最值问题，郑老师从定点绕动点旋转角为90°到60°到45°，由旋转全等到旋转相似进行图形的缩放变式，背景图形由等腰直角三角形到等边三角形到顶角是120°的等腰三角形寻找从动点的轨迹，使学生思维的张力得到充分体现。

苏红芬老师的讲座《中考数学专题复习策略》体现苏老师平时教学对中考的深度研究和深入思考。短短40分钟时间，聚焦了中考中的热点、难点专题，例举了多种解决问题的视角和途径，大大拓宽了我们的视野，值得我们回去细细品味，好好消化。（常州市武进区人民路初中 蒋丽亚）

中考数学专题复习课对提升学生数学核心素养、中考解题思路和技能都有重要影响.不管上课的薛老师、郑老师，还是作讲座的苏老师，她们对初中数学中考的专题复习课的教育价值进行了分析和示范,提出应从立足中考考试考纲和说明、整合各级各类中考资源和研究考情学情三个层面来确定专题复习课的教学内容,在遵循整体性、基础性、主体性和思想性的原则上进行数学专题复习课的教学设计,用不同角度的教学和研究演绎了中考专题复习对学生成长发展的助力，发展学生的数学核心素养.三位老师设计的教学策略是教学情境设置渐进化、过程体系建构活动化、课堂问题解决模块化，让学生真正掌握初中数学专题复习呈现的学习方法和技能。学识渊博的于特点评了三位老师今天精彩的上课，高屋建瓴地指出中考专题复习在教学中要循序渐进、学生要分层设计教学、对专题研究无止境。睿智亲和的张校长最后做出总结性发言，指出复习研究的意义，激励着我们不断前行！（常州市武进区潘家中学 王向东）

这次“自觉教育”培育站研修活动分别由薛燕老师开设的初三复习专题课《几何最值问题》和郑金华老师的《路径问题》两节精彩的课，都结合中考热点和难点，以数学问题为载体，引导学生感受发现、提炼归纳，建构模型、应用拓展、总结深化等多角度，提高学生分析问题的能力和解决问题的水平。还有苏红芬老师的微讲座《中考数学专题复习策略研究》,重点介绍了定角的处理策略和线段和差的最值问题。最后于特与张伟俊导师对这两节课进行了精彩的点评，指出我们进行中考专题复习时首先要对专题进行深层次研究，在复习教学中要循序渐进、对学生进行分层教学。从点评中我深受启发与认同。（常州市武进区淹城初级中学 王向彪）

　　合作交流取长补短，回到起点返璞归真，专业之路，是条无止境的成长之路。每走一步，都在前行中收获。我们江苏省乡村骨干教师“自觉教育”培育站全体成员用团结诠释奋进，用碰撞诠释追求，用奋斗诠释幸福。在教研的道路上一路向前，一路芬芳！