<p style="text-align: center; ">数学与几个科学系统（五）</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">五、三大几何系统</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">这次的内容要难一点了</h3><p style="text-align: center; ">难的东西要是讲得太简单了</h3><p style="text-align: center; ">就是讲错了</h3><p style="text-align: center; ">看到实在不懂的就跳过去吧</h3><p style="text-align: center; ">挑自己觉得有趣的看也是有趣的</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">不仅难一点</h3><p style="text-align: center; ">还要扯远点</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">两千三百多年前</h3><p style="text-align: center; ">在古希腊的亚历山大里亚城</h3><p style="text-align: center; ">出了一个人叫做欧几里得</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">他从点线面角等23个简单概念</h3><p style="text-align: center; ">五个普世适用的公理即</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">甲等于乙乙等于丙则甲丙相等</h3><p style="text-align: center; ">等量加等量等于等量</h3><p style="text-align: center; ">等量减等量等于等量</h3><p style="text-align: center; ">能重合者必等</h3><p style="text-align: center; ">全体大于部分</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">以及五个几何专用的公设即</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">过两点能作一条直线</h3><p style="text-align: center; ">直线是可以延长的</h3><p style="text-align: center; ">以任意定点为心定长为半径可作一圆</h3><p style="text-align: center; ">所有直角相等</h3><p style="text-align: center; ">同旁内角互补</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">出发</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">推出了一套几何理论</h3><p style="text-align: center; ">该理论包括我们在中学学过的</h3><p style="text-align: center; ">平面几何的主要内容</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">其中</h3><p style="text-align: center; ">同旁内角互补一说</h3><p style="text-align: center; ">是后来的人们改成这样的</h3><p style="text-align: center; ">以使原来那个陈述变简短</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">原来的陈述是这样的</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">上面画一条直线</h3><p style="text-align: center; ">靠下画一条直线</h3><p style="text-align: center; ">画的时候大致不让它们相交</h3><p style="text-align: center; ">然后从左上到右下再画一条直线</h3><p style="text-align: center; ">使它与那两条直线都相交</h3><p style="text-align: center; ">那么如果</h3><p style="text-align: center; ">第一条与第三条直线相交组成的右下角</h3><p style="text-align: center; ">与</h3><p style="text-align: center; ">第二条与第三条直线相交组成的右上角</h3><p style="text-align: center; ">相加后的和小于俩直角</h3><p style="text-align: center; ">则</h3><p style="text-align: center; ">第一第二条直线迟早会相交</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">这显然是同旁内角互补的逆否命题</h3><p style="text-align: center; ">两者等价</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">五条公设比较一下</h3><p style="text-align: center; ">前四条十分简单</h3><p style="text-align: center; ">不太傻就能懂</h3><p style="text-align: center; ">第五条怎么变都不简单</h3><p style="text-align: center; ">聪明人也得比划半天才能懂说什么</h3><p style="text-align: center; ">懂了意思也不知道这结论怎么来</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">人们越看越纳闷</h3><p style="text-align: center; ">极端聪明的欧几里得</h3><p style="text-align: center; ">真是一时糊涂</h3><p style="text-align: center; ">公设应该是十分简单一看就明了的</h3><p style="text-align: center; ">他怎么把这样一个不伦不类的东西</h3><p style="text-align: center; ">作为公设放在那里</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">来来来</h3><p style="text-align: center; ">我们找一两个和前四条公设</h3><p style="text-align: center; ">一样简单的</h3><p style="text-align: center; ">取代复杂的第五公设</h3><p style="text-align: center; ">而把那第五公设</h3><p style="text-align: center; ">作为定理加以证明</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">结果徒劳</h3><p style="text-align: center; ">新的公设找不到</h3><p style="text-align: center; ">第五公设证明不了</h3><p style="text-align: center; ">仅找到一个与第五公设等价</h3><p style="text-align: center; ">但看起来简单的结果</h3><p style="text-align: center; ">那就是</h3><p style="text-align: center; ">过直线外一点</h3><p style="text-align: center; ">能作且只能作一条直线与原直线平行</h3><p style="text-align: center; ">其不严格但更简单的陈述是</h3><p style="text-align: center; ">过直线外一点只能作一条平行线</h3><p style="text-align: center; ">此后就把它作为第五公设</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">渐渐地</h3><p style="text-align: center; ">证明欧几里得第五公设</h3><p style="text-align: center; ">成为一道世界难题</h3><p style="text-align: center; ">难到什么程度</h3><p style="text-align: center; ">从欧几里得发布他的系统起</h3><p style="text-align: center; ">无数数学家前赴后继</h3><p style="text-align: center; ">证明了两千二百多年</h3><p style="text-align: center; ">不得结果</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">直到1826年</h3><p style="text-align: center; ">俄罗斯喀山大学物理与数学系</h3><p style="text-align: center; ">罗巴切夫斯基教授</h3><p style="text-align: center; ">在系里做了一个报告</h3><p style="text-align: center; ">称他和无数人一样</h3><p style="text-align: center; ">试图用反证法证明第五公设</h3><p style="text-align: center; ">于是假定过直线外一点</h3><p style="text-align: center; ">能作两条以上平行线</h3><p style="text-align: center; ">想推出矛盾</h3><p style="text-align: center; ">推出的话第五公设就得到了证明</h3><p style="text-align: center; ">结果矛盾没推出</h3><p style="text-align: center; ">却推出了一系列奇妙的结果</h3><p style="text-align: center; ">他把结果在报告中予以展示</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">听报告的有不少大家</h3><p style="text-align: center; ">几乎所有人都没有好的反应</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">1827年</h3><p style="text-align: center; ">罗巴切夫斯基被选为喀山大学校长</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">1829年</h3><p style="text-align: center; ">他那一系列结果因他的面子</h3><p style="text-align: center; ">发表在《喀山大学通报》上</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">之后不得了了</h3><p style="text-align: center; ">他受到了全世界数学家的攻击</h3><p style="text-align: center; ">不可计数的人的嘲笑</h3><p style="text-align: center; ">有人说</h3><p style="text-align: center; ">某个所谓的数学家</h3><p style="text-align: center; ">无聊到了可耻的程度</h3><p style="text-align: center; ">竟然说过直线外一点</h3><p style="text-align: center; ">能作两条以上平行线</h3><p style="text-align: center; ">我要是见到他</h3><p style="text-align: center; ">会把他捉住</h3><p style="text-align: center; ">让他给我作作看</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">这些攻击严重影响到了喀山大学的声誉</h3><p style="text-align: center; ">使俄罗斯人民教育部十分恼火</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">1846年</h3><p style="text-align: center; ">乘53岁的罗巴切夫斯基</h3><p style="text-align: center; ">请辞校长职务的机会</h3><p style="text-align: center; ">人民教育部把他的校长职务和教职</h3><p style="text-align: center; ">一同免除</h3><p style="text-align: center; ">只给了一个</h3><p style="text-align: center; ">喀山学区副督学的虚职</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">罗巴切夫斯基陷入苦闷之中</h3><p style="text-align: center; ">眼疾恶化直至失明</h3><p style="text-align: center; ">又加儿子因肺结核去世</h3><p style="text-align: center; ">不断的打击使他于1856年</h3><p style="text-align: center; ">63岁过早离世</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">在罗巴切夫斯基受攻击的同时</h3><p style="text-align: center; ">还是有不少数学家</h3><p style="text-align: center; ">冷静审视他的工作</h3><p style="text-align: center; ">包括早于他发现同样几何系统</h3><p style="text-align: center; ">但因害怕遭到打击</h3><p style="text-align: center; ">而没有公布结果的大数学家柯西</h3><p style="text-align: center; ">他们陆续开始肯定</h3><p style="text-align: center; ">已被冠以罗巴切夫斯基名字的几何</h3><p style="text-align: center; ">但由于肯定是慢慢滋长的</h3><p style="text-align: center; ">在罗巴切夫斯基去世的时候</h3><p style="text-align: center; ">肯定的影响还没有大到</h3><p style="text-align: center; ">改善他境遇的程度</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">罗巴切夫斯基几何简称为罗氏几何</h3><p style="text-align: center; ">欧几里得几何简称为欧氏几何</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">1868年</h3><p style="text-align: center; ">意大利数学家贝特拉米发表论文</h3><p style="text-align: center; ">称如果欧氏几何是对的</h3><p style="text-align: center; ">则罗氏几何就是对的</h3><p style="text-align: center; ">罗氏在去世十多年后才受到极大的尊重</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">在此之前</h3><p style="text-align: center; ">大数学家黎曼</h3><p style="text-align: center; ">就完全肯定了罗氏几何</h3><p style="text-align: center; ">并开始研究另一种几何</h3><p style="text-align: center; ">他想</h3><p style="text-align: center; ">无论欧几里得还是罗巴切夫斯基</h3><p style="text-align: center; ">都假定过直线外一点</h3><p style="text-align: center; ">可以作平行线</h3><p style="text-align: center; ">只不过前者假定只能作一条</h3><p style="text-align: center; ">后者假定能作两条以上</h3><p style="text-align: center; ">后来又证明</h3><p style="text-align: center; ">能作两条以上等价于能作无数条</h3><p style="text-align: center; ">那么还有一种情况</h3><p style="text-align: center; ">那就是一条平行线也作不出来</h3><p style="text-align: center; ">于是他在如是假定下</h3><p style="text-align: center; ">又推出了一套漂亮的结果</h3><p style="text-align: center; ">于1854年发表</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">此时的人们已经比较宽厚</h3><p style="text-align: center; ">愿意接受逻辑上合理的数学结果</h3><p style="text-align: center; ">只是对非数学家来说</h3><p style="text-align: center; ">会认为许多结果</h3><p style="text-align: center; ">不过是数学家的无厘头游戏</h3><p style="text-align: center; ">他们觉得既然碍不着别人</h3><p style="text-align: center; ">不理就是</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">至此</h3><p style="text-align: center; ">三大几何系统建立了</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">之后人们对它们进行深入的研究</h3><p style="text-align: center; ">特别是统一的研究</h3><p style="text-align: center; ">又发现了不少有价值的结果</h3><p style="text-align: center; ">比如引进三种长度和角的测度</h3><p style="text-align: center; ">互相配合三三得九</h3><p style="text-align: center; ">竟然可以得到九种平面几何</h3><p style="text-align: center; ">其中三种就是</h3><p style="text-align: center; ">欧氏几何罗氏几何黎曼几何</h3><p style="text-align: center; ">这种做法</h3><p style="text-align: center; ">就像用橡皮筋在欧氏平面上</h3><p style="text-align: center; ">缝来缝去</h3><p style="text-align: center; ">把那平面抽抽成各种奇怪的样子</h3><p style="text-align: center; ">硬着头皮还叫他们平面的话</h3><p style="text-align: center; ">就得到各种平面</h3><p style="text-align: center; ">分别对应各种几何</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">值得注意的是</h3><p style="text-align: center; ">同名的长度和角的测度</h3><p style="text-align: center; ">却不一定得到同名的几何</h3><p style="text-align: center; ">如欧氏长度和欧氏角的测度</h3><p style="text-align: center; ">得到的并不是欧氏几何</h3><p style="text-align: center; ">而是伽利略几何</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">有没有发现</h3><p style="text-align: center; ">现在完全没有了五个公设的影子</h3><p style="text-align: center; ">数学就是这样</h3><p style="text-align: center; ">可以从完全不同的地方出发</h3><p style="text-align: center; ">采用完全不同的手段</h3><p style="text-align: center; ">到达同一个目标</h3><p style="text-align: center; ">其实人生在世</h3><p style="text-align: center; ">许多时候都是这个样子</h3><p style="text-align: center; ">你要到北京开会</h3><p style="text-align: center; ">坐飞机坐火车开车骑车</h3><p style="text-align: center; ">从机场车站车库地下室出发</h3><p style="text-align: center; ">最后都能到了会场</h3><p style="text-align: center; ">数学出现类似的情况</h3><p style="text-align: center; ">不必感到奇怪</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">欧氏几何又叫抛物几何</h3><p style="text-align: center; ">罗氏几何又叫双曲几何</h3><p style="text-align: center; ">黎曼几何又叫椭圆几何</h3><p style="text-align: center; ">这是为什么呢</h3><p style="text-align: center; ">你去网上查查</h3><p style="text-align: center; ">保准没有结果</h3><p style="text-align: center; ">只有答非所问的长篇大论</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">在给出答案之前</h3><p style="text-align: center; ">先注意如下情况</h3><p style="text-align: center; ">平面抛物线椭圆</h3><p style="text-align: center; ">分别把平面分成内外两部分</h3><p style="text-align: center; ">双曲线把平面分成三部分</h3><p style="text-align: center; ">一部分外部</h3><p style="text-align: center; ">两部分内部</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">对罗氏几何</h3><p style="text-align: center; ">如果一个射影变换</h3><p style="text-align: center; ">把双曲线变为自己</h3><p style="text-align: center; ">则对于双曲线内部点来说</h3><p style="text-align: center; ">该变换的作用保持某些重要的传递性</h3><p style="text-align: center; ">所以罗氏几何又叫双曲几何</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">对黎曼几何</h3><p style="text-align: center; ">如果一个射影变换</h3><p style="text-align: center; ">把椭圆变为自己</h3><p style="text-align: center; ">则对于椭圆内部点来说</h3><p style="text-align: center; ">该变换的作用保持某些重要的传递性</h3><p style="text-align: center; ">所以黎曼几何又叫椭圆几何</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">虽然欧氏几何</h3><p style="text-align: center; ">对所有二次曲线</h3><p style="text-align: center; ">包括抛物线双曲线椭圆</h3><p style="text-align: center; ">经射影变换</h3><p style="text-align: center; ">都能得到那样的传递性</h3><p style="text-align: center; ">人们为了对称好说</h3><p style="text-align: center; ">还是把欧氏几何</h3><p style="text-align: center; ">称为抛物几何</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">以上语句中</h3><p style="text-align: center; ">有射影变换概念</h3><p style="text-align: center; ">这是一种特殊的线性变换</h3><p style="text-align: center; ">此时不细说为好</h3><p style="text-align: center; ">因为对内行来说不用说</h3><p style="text-align: center; ">对外行来说说了也不懂</h3><p style="text-align: center; ">总之说了没用还讨人嫌</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">还有传递性</h3><p style="text-align: center; ">这是一种司空见惯的关系</h3><p style="text-align: center; ">如相等关系就具有传递性</h3><p style="text-align: center; ">a等于b，b等于c，则a等于c</h3><p style="text-align: center; ">上文所述重要的传递性</h3><p style="text-align: center; ">诸如</h3><p style="text-align: center; ">a与b在同一边，b与c在同一边</h3><p style="text-align: center; ">则a与c在同一边</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">这就是说</h3><p style="text-align: center; ">对于双曲几何来说</h3><p style="text-align: center; ">射影变换把双曲线的内部</h3><p style="text-align: center; ">仍然变为双曲线的内部</h3><p style="text-align: center; ">对于椭圆几何来说</h3><p style="text-align: center; ">射影变换把椭圆的内部</h3><p style="text-align: center; ">仍然变为椭圆的内部</h3><p style="text-align: center; ">对于抛物几何来说</h3><p style="text-align: center; ">射影变换把所有曲线的某一边</h3><p style="text-align: center; ">仍然变为它的同一边</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">增加变量</h3><p style="text-align: center; ">再进行简单处理</h3><p style="text-align: center; ">就可以得到多元的三种几何</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">不过这样推广以后</h3><p style="text-align: center; ">对一些名词就要注意了</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">例如在二维的情况下</h3><p style="text-align: center; ">有抛物线双曲线椭圆</h3><p style="text-align: center; ">它们都是二次曲线</h3><p style="text-align: center; ">其点满足抛物型双曲型椭圆型</h3><p style="text-align: center; ">二元二次多项式方程</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">在三维的情况下</h3><p style="text-align: center; ">有抛物型双曲型椭球型二次曲面</h3><p style="text-align: center; ">其点满足抛物型双曲型椭球型</h3><p style="text-align: center; ">三元二次多项式方程</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">但在四维以上时</h3><p style="text-align: center; ">曲线曲面实体没有了</h3><p style="text-align: center; ">此时就说</h3><p style="text-align: center; ">满足多元二次多项式方程的多元点</h3><p style="text-align: center; ">构成了一个二次超曲面</h3><p style="text-align: center; ">多了一个超字说明所谓曲面是假的</h3><p style="text-align: center; ">不过是借用了一下名称而已</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">超曲面也有抛物型双曲型椭球型的</h3><p style="text-align: center; ">只要其点满足同名类二次多项式方程</h3><p style="text-align: center; ">这些方程的关键表征</h3><p style="text-align: center; ">与二元三元时的情形是一样的</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">于是得到</h3><p style="text-align: center; ">多元的抛物几何双曲几何椭圆几何</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">还有人利用庞加莱曲率</h3><p style="text-align: center; ">而不是一般的曲率</h3><p style="text-align: center; ">来对几何进行划分</h3><p style="text-align: center; ">说庞加莱曲率为0的几何</h3><p style="text-align: center; ">是欧氏几何即抛物几何</h3><p style="text-align: center; ">为-1的是罗氏几何即双曲几何</h3><p style="text-align: center; ">为1的是黎曼几何即椭圆几何</h3><p style="text-align: center; ">没别的问题</h3><p style="text-align: center; ">只是这样的话</h3><p style="text-align: center; ">完全看不出0与抛物有什么关系</h3><p style="text-align: center; ">等等</h3><p style="text-align: center; ">这事提一下就行</h3><p style="text-align: center; ">多说无益</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">是不是心底还有一个疑问</h3><p style="text-align: center; ">明明过直线外一点只能作一条平行线</h3><p style="text-align: center; ">怎么说能作无数条或作不出呢</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">原因是空间不同</h3><p style="text-align: center; ">过一点画无数条平行线</h3><p style="text-align: center; ">你必须到罗氏几何环境中</h3><p style="text-align: center; ">那时完全变形的你</h3><p style="text-align: center; ">拿着变形的粉笔</h3><p style="text-align: center; ">站在变形的罗氏黑板前</h3><p style="text-align: center; ">才能过一点画出无数条变形的平行线</h3><p style="text-align: center; ">要是到了黎曼几何环境中</h3><p style="text-align: center; ">相信你无论变成什么样子</h3><p style="text-align: center; ">过任何点都画不出一条平行线</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">现在</h3><p style="text-align: center; ">完全正常的你</h3><p style="text-align: center; ">要是在代表欧氏平面的黑板上</h3><p style="text-align: center; ">过一点画出了无数条平行线</h3><p style="text-align: center; ">那才叫活见鬼了</h3><p style="text-align: center; "><br></h3><p style="text-align: center; ">说到非欧</h3><p style="text-align: center; ">指的是非欧几里得</h3><p style="text-align: center; ">比如罗氏几何与黎曼几何</h3><p style="text-align: center; ">都是非欧几何</h3><p style="text-align: center; ">（邸继征完成于2819年1月17日17点，</h3><p style="text-align: center; ">今天上午，去理学院听了施建青书记</h3><p style="text-align: center; ">关于理学院一年发展的报告，观看了理学院</h3><p style="text-align: center; ">新办公楼建设计划的录像，感觉很好）</h3>