<p class="ql-block" style="text-align:center;">数学与几个科学系统（三）</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">三、什么是数学</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">这个问题</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">似乎应在本系列文章开始时讨论</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">其实</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">在提类似问题时</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">往往是主角已经出现了一段时间了</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">所以现在说什么是数学</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">并不过于不合适</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">古时候</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">没人讨论什么是数学</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">在数学形成学派的很长一段时间</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">各个学派对数学都有自己的定义</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">基本上是那个学派的主要观点的翻版</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">如逻辑主义学派说数学是符号化的逻辑</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">我们当然更应该关注近现代</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">如何考虑什么是数学</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">简单来说</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">近现代对数学的认识</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">出发点都是描述数学研究的内容</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">主要有三种意见</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">一种意见认为</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">数学是研究</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">空间形式与数量关系的科学</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">这是恩格斯的观点</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">我们现在在许多文献中</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">都能看到这个意见</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">说得有道理吗</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">从数学硕士阶段开始</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">就能不断接触空间这两个字</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">其他人虽然可能学了不少数学</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">也不一定知道什么是空间</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">空间是什么</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">就是一个场合或者一个集合</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">你要学习和研究数学</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">数学有不少分支</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">总得在一开始就知道</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">讨论的对象在什么场合</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">那里有什么结构吧</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">好了</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">空间就是规定了结构的场合</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">最简单常见的空间</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">是线性空间</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">即定义了线性运算的集合</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">线性运算包括加法和数乘两种运算</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">有的线性空间有维数的概念</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">比如实数直线是一维的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">直角坐标平面是二维的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">我们待着的空间是三维的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">还有任意有限维的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">可数无穷维的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">不可数无穷维的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">还有分数维的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">例如0.238维的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">这些个维数的数目字</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">是有严格定义的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">不是想说多少就是多少的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">比如二维空间</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">是因为这空间中可以找到两个元素</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">称为基元素</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">空间中的所有元素</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">都可以表示成这两个元素的线性组合</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">如果一个空间的基元素是三个</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">那它就是三维的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">等等</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">但有个问题注意到了没有</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">那个0.238维的空间</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">难道有0.238个基元素</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">不不不</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">这就像两个a相乘是a的平方</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">但a的圆周率派次方</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">决不能认为是派个a相乘一样</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">分数维空间的维数</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">有它特别的定义办法</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">我们只要记住</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">对于数学来说</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">只有想不到的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">没有做不到的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">不仅空间有分数维的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">导数和积分还有分数阶的呢</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">负数开平方取对数</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">早就不在话下了</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">扯远了</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">还有元素间不能运算的空间</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">没有维数的空间</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">比如拓扑空间概率空间等等</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">数学是研究空间形式和数量关系的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">是不是有道理</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">第二种意见认为</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">数学是研究量化模式的科学</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">这是我国著名数学家徐利治的观点</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">什么是模式</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">模式是由事物概括出来的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">这些事物表面看来完全不同</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">却在某个方面导出了同一的结构</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">导数是一个模式</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">研究平面曲线在一点的斜率</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">物体运动的瞬时速度</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">线性分布的物质的局部密度</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">都导出了导数</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">积分是一个模式</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">要计算曲边梯形的面积</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">空间立体的体积</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">曲线的长度</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">曲面的面积</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">都归结为求积分</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">定积分重积分</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">曲线曲面积分</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">数学就是研究一个个模式的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">这些模式还要量化</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">是不是有道理</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">第三种意见认为</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">数学是研究不变量与不变关系的科学</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">谁的观点无法考证</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">什么是不变量</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">三角形内角和是多少度</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">180度</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">是不是所有三角形的内角和</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">都是180度</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">没有例外</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">当然是</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">180就是三角形的一个不变量</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">什么是不变关系</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">三角形三条中线交于一点</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">三条高交于一点</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">三条角平分线线交于一点</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">什么样的三角形是这个样子</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">所有的三角形都是这个样子</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">这三条都是三角形的不变关系</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">数学中的结果</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">多数是以定理的形式呈现的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">定理由条件和结论两部分构成</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">凡是有东西满足那些条件</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">它们就都有所述结论</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">这结论就是那些东西构成的集合上的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">不变关系</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">是不是有道理</p><p class="ql-block" style="text-align:center;"><br></p><p class="ql-block" style="text-align:center;">说了半天</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">什么是数学还是没有说清楚</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">说不清楚说明数学是好东西</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">好东西都承载着巨大的量高级的质</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">都是不能简单说清楚的</p><p class="ql-block" style="text-align:center;">（邸继征2019年1月15日14：20写完）</p>