数形结合 一题两解

煦风

　　近日，在五年级数学课外资料的附加练习中遇到了这样一道题目：

某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会打乒乓球，可以肯定至少有多少人四项都会？

这道题看似短小、简单，实则复杂难解。已知条件中一共出现了五个数量。同学们读题审题后，抓耳挠腮，一脸懵逼，找不到解题的突破口，茫茫然不知如何下手。题目中的五个量逻辑关系不清晰，尤其是后面的四个数量，它们是属并列关系，相互独立，如何把这些数量联系起来，成了解决此题的关键所在。

　　老子曰：天下大事，必作于细，天下难事，必作于易。要化解数学难题，必须找到正确的方法，方法对了题目就容易了。千斤铁门用一个小小的钥匙就能打开，那么怎样找到解题的钥匙呢？我想到了用数形结合的思想来分析此类与统计相关的应用题，理清各个数量之间的交叉与重叠关系。我告诉孩子们，5个数量就是五个集合，题目中后面的4个数量是全班人数60人的子集，可以用长方形或圆来表示各个项目的人数。我让孩子们在草稿本上画一画这些数量，小组之间相互探讨，此题的感性与理性认识都有了，解题方案呼之欲出之时，我顺水推舟，加以总结，在孩子们绘制的图形中归纳了两种解题方法如下：

　　方法一：

　　先用42＋46－60＝28（人），这28人既属于会游泳的42人里面，又属于会骑车的46人里面，用42与46人相加，这部分人数多算了一次，减去总人数，求出了全班同学中既会游泳又会骑车的最少人数。如图1。

　　然后用60－50＝10（人），求出不会溜冰的人数。

　　接着用60－55＝5（人），求出不会打乒乓球的人数。

最后用假设法，要求出四项都会的最少人数，我们不妨假设不会溜冰的10人和不会打乒乓球的5人都包涵在28人中，故结果为28－10－5＝13人。如图2。

　　方法二：

　　运用逆向思维，求出不会游泳的人数60－42＝18（人），不会骑车的人数60－46＝14（人），不会溜冰的人数60－50＝10（人），不会打乒乓球的人数60－55＝5（人）。

假设这些不会的人数没有重复，则有18＋14＋10＋5＝47人单项不会，如图3所示：

　　所以至少有60－47＝13人四项都会。

　　数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合的方法既可以把复杂的数量关系转化为图形问题，又可以把复杂问题简单化，抽象问题具体化。图形画好了，解题就有水到渠成，豁然开朗之感，达到四两拨千斤的效果。