一道有趣的数学题（3）

汪砚秋

一道有趣的数学题（3）
上回说到，鼠利用领先猫“相位角”的方式成功上岸逃离，但很辛苦，鼠希望有更简捷的逃离方式。
是否有有更简捷的逃生方式，且看：
解3：鼠在池心A，向背离猫的方向F向逃离，猫会沿池边前去堵截鼠。鼠在此时要根据猫的绕行方向，调整自己的逃离方向(向左或向右)，使自己始终处在猫、池心连线的延长线上，作图如下：
1．作等角度辅助线P1~Pn，为作图方便，将90度的圆周长分n等分，每等分弧长为S；
2．猫的初始位置在M点，鼠在A点。鼠先向F方向游动，并注意猫追截的方向。设猫沿逆时针方向追截，则鼠也按逆时针方向转游。
3．以A点为圆心、S/4为半径画圆，该圆与P1线有交点；
4．以P1线上的交点为圆心、S/4为半径画圆，该圆与P2线有交点；
5．以P2线上的交点为圆心、S/4为半径画圆，该圆与P3线有交点；
……
6．以Pn-1线上的交点为圆心、S/4为半径画圆，该圆与Pn线有交点；
7．把以上所得到的交点连起来，会发现他们都落在以G为圆心、R/8为半径的圆周上，画该圆，见图3。

用上述3~6项方式找交点，既满足所给条件，又可以使鼠始终与猫处在同一直径上。
当鼠按上述方式游到D点时，猫在E点，这时鼠可径直游向N点上岸逃离。
去掉辅助线，得到鼠的逃生路线图，见图4。这时有：
鼠从A点沿“G”圆圆弧到D点再到N点，游过的距离是1.5708*R/4+R*3/4 = 1.1427R；
猫从M点逆时针到N点，跑过的距离是6.2832R*3/4 = 4.7124R；
鼠上岸时，猫落后鼠距 = 4.7124R – 4*1.1427R = 0.1416R。
结论3：鼠可安全逃离。
比起反复绕圈的方式，这种逃离方式快了许多，但还会不会还有更快的方式呢？
欲知是否有更快的方式，且听下回分解。