一道有趣的数学题（2）

汪砚秋

一道有趣的数学题（2）
上回说到，鼠背向猫直接游向N点池边，鼠无法上岸逃离。
是否还有逃离方式呢，且看图2。

解2：鼠先游到距池心x处，游的方向任意，甚至可以向着猫游。但是，这个x值必须满足一个条件，即x＜R/4。这时，鼠沿着半径为x的圆周绕游，猫自然在岸上跟着鼠绕跑。由于x＜R/4 和 猫速= 4*鼠速，当鼠沿着半径为x的圆周绕游时，在相同时间内，鼠绕游的角度就会大于猫绕跑的角度，即鼠会逐渐处在猫与池心连线的“前面”，出现“相位差”。当这种“相位差”积累到180度的时候，猫、鼠会处在圆心的两侧且同一直径上。这时，鼠距登岸点的距离是 (R-x)，猫距鼠登岸点的距离是3.1416R。鼠若想在猫赶到之前上岸，就又必须有 4(R-x) ＜3.1416R。
这样，就得到了一组不等式方程组，
即x＜R/4 和4(R-x) ＜3.1416R。见图2。
解该不等式方程组，得到 0.2146R＜x＜0.25R。即鼠只要在0.2146R＜x＜0.25R 的圆环内绕游，便可逐渐增大领先的“相位角”，当鼠领先猫180度“相位角”时，便可径直游向池边，安全上岸逃离。
0.2146R＜ x 是为了使鼠直线上岸的距离（R - x）的4倍小于水池的1/2周长；
X＜0.25R 为了使鼠在绕游时，有产生“相位角”领先的条件。
设鼠沿着“安全环”的中线游，即取x = 0.2323R，则有：鼠直游的距离 = 0.7677R。
这样，鼠上岸时，猫还落后鼠距 = 3.1416R – 4*0.7677R = 0.0708R。
结论2：鼠可安全逃离。
鼠虽可以安全逃离，但在池中需绕游多圈，倍感辛劳，问鼠是否有更简捷的逃离方式。
欲知鼠是否有更简捷的逃离方式，且听下回分解。