明确“教什么” 思考“怎么教”

煦风

　　一、问题背景

　　１、问题提出

　　相比“怎么教”“怎么学”，当前教师对“教什么”的研究还存在不足，以“三角形定义”为例，相关的教学课例比比皆是，但对三角形的定义要“教什么”的研究却比较少见。

　　２、教师调查

　　三角形的定义重要吗？该怎样给三角形下定义？我通过微信公众号与网页的调查方式，对175位小学数学教师做了相关问题的调查：

　　（1）你认为三角形的定义有多重要？（非常重要5，一点都不重要1）调查结果：42.9%（75人）的教师打了5分，认为非常重要，只有4.0%（7人）的教师打了1分，认为一点都不重要（可有可无）。教师整体上认为三角形的定义比较重要（此项调查的平均得分是3.89分）。图1

　　（2）你认为怎样给三角形下定义比较好？（图2）

　　选择“1.由三条线段围成的图形“（此定义方式见青岛版小学数学四年级下册第40页）的教师只有3.3%；34.9%（61人）的教师选择“2.由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）”（此定义方式见人教版小学数学四年级下册第60页）；有54.9%（96人）的教师选择了“3.由三条线段围成的封闭图形”（此定义方式见新思维小学数学三年级上册第93页）；选择“4.像这样的图形叫做三角形”的教师只占6.9%。

　　看来，教师既不认同“选项`1”这种不够严谨的定义方式，也不太认同类似“选项4”的描述式定义方式。近九成的教师认为，到了四年级（国内各主要版本都把“三角形”这一单元安排在四年级下册），应该对三角形下一个比较准确、简明的定义。但究竟下怎样的定义，意见并不统一，说明教师对三角形的定义“教什么”是存在一些分歧的。

　　二、明确“教什么”

　　课标是教学的方向，教材是知识的载体。明确教什么，要以课标和教材为依据，认真研读课标，横向比较教材。

1、 课标的要求。

　　三角形的定义该“教什么”？“课标”（2011年版）并没有给出明确的三角形定义，只是分三个学段对三角形提出了教学要求：

　　第一学段：能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形；（第18页）

　　第二学段：认识三角形；（第23页）

　　第三学段：理解三角形及其内角、外角、…等概念。

　　根据课标对有关行为动词的阐述，“认识”是“理解”的同义词（“课标”（2011年版）第72页）。可见，第二学段的“认识”三角形，不同于第一学段在形状上的“辨认”，但比第三学段“理解概念”的要求又要低一些。所以，小学阶段应该学习三角形的定义，但定义要简洁明了，符合小学生的认知规律，便于学生理解。

2、 教材的编排。

　　教材是教学活动的重要依据。不同版本的教材体现了不同编者的编写意图，横向比较各版本的教材，能帮助教师拓宽视野，从不同的角度审视教学内容。

　　各版本教材对三角形分别定义如下：

　　从各版本教材的编排看，编者对三角形下下怎样的定义也没有形成共识，北师大版教材则干脆没下定义。不过，教材中的定义都简单易懂，符合四年级学生的认知水平，体现了第二学段“认识三角形”的课程目标，符合课标要求。

　　教学中发现，四年级学生对人教版的定义中“每相邻两条线段的端点相连”的理解还是有点困难，更难以自行概括出这样的定义，而对于“封闭图形”则相对容易理解。这也是教师调查中选择“由三条线段围成的封闭图形”的比例相对要高一些的原因之一。

　　实际上，对三角形应该下怎样的定义，并没有权威的说法。人教版教材给三角形下了最为详细的定义，但同样是人教版，到了八年级上册，对三角形的定义又改成了“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形”。比较这两个定义，四年级时的定义相对简单，八年级时的定义相对抽象。而辞海缩印本（1989年版）对三角形的定义是：“把不在同一直线上的三点，两两用线段连接起来的图形叫做三角形。”还有一种定义是：“三角形是指平面上不共线的三点及其每相邻两点连结的线段所组成的封闭图形（包括它的内部区域）。”这些定义的内容与教材中定义都不相同。

　　3、 三角形的定义“教什么”

　　到了第二学段，应该开始有意识地培养学生抽象概括能力和数学语言表达能力。数学概念是 ，也是抽象的。不同教材对三角形的定义不尽相同，相比用什么样的文字定义三角形，让学生经历抽象过程，尝试去“定义”三角形，什么概念的严谨性则显得更为重要。因为让学生尝试用“定义式”的方式描述三角形，对学生抽象能力，概括能力，数学语言表达能力的提升都是一次很好的机会。

　　按照“课标”对“理解”的阐述，三角形定义的教学应让学生“描述对象的特征和由来，阐述对对象与相关对象之间的区别和联系”。理解的关键是实现不同表征之间的转换，建立各类表征之间的联系。所以，三角形定义的教学重点不在于让学生背诵书中所呈现的概念，而是要帮助学生在现实情境、直观图形、语言表述等表征形式之间建立联系，实现由自我语言逐步过渡发现到借用数学语言来定义、辨别三角形，丰富三角形概念的表征类型，进而提高学生的数学概念辨别能力。

　　三、思考“怎么教”

　　明确了“教什么”，再来思考“怎么教”。对于如何教学三角形的定义，69.%的教师认同“让学生经历探究过程，概括得出概念”的教学方式（图3）。笔者也认为，教学时可以先让学生尝试着给三角形下定义，再与教材的定义相比较，感受数学定义的严密性与科学性。

　　笔者以人教版的教材为例，设计了大致的教学流程：

　　1、 引入、尝试进行定义

　　PPT出示生活中的三角形。

　　师：三角形在生活中很常见，它们的材料、大小、形状等都不相同，为什么都可以叫做三角形呢？

　　学生思考、回答。老师根据学生的回答择要点板书。

　　生1：都有三个角。

　　生2：都有三条边。

　　生2：边都是直直的。

　　2、 在特定的情境中检验假设，确认关键属性。

　　师：我们虽然能够辨别一个图形是不是三角形，但要准确说出什么样的图形是三角形，

　　但要准确说出什么的图形是三角形，还是有一定难度的，请同学们想一想，刚才这些同学说得对吗？如果不对，你能不能用小棒摆一摆，来说明他错在哪里？

　　学生动手操作，先独立完成，再在小组内交流后集体讨论，但都不是三角形。

　　3、概括，形成概念

　　师：究竟什么是三角形呢？请同学们画一个三角形，边画边思考：我画了什么：是怎样画的？到底什么是三角形？

　　学生操作、思考、交流。

　　生1：我画了三条线，把它们连在一起，就得到了三角形。

　　生2：我补充一下：要每条线段都连在一起。

　　师演示，指出这在数学上叫围成。

　　师：这幅图（图5）的三条线段也是围成了，可以吗？为什么？

　　生：不是，出头了。

　　师：所以，关于“围成”，书本上是这样解释的（出示：每相邻两条线段的端点相连）。现在我们一起来说说，什么是三角形？

　　生：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连），叫做三角形。

　　4、 师：同学们已经知道了三角形的定义，请大家思考一下：3条线段应该有6个端点，为什么三角形却只有3个顶点？

　　生：因为（端点）重叠了。

　　师：能用定义里的话来说明吗？

　　生：因为每相邻两条线段的端点相连，也就是端点重叠了。

　　生：有三个端点重叠了，所以只剩下3个了。

　　师：大家看屏幕，这里有3个点，如果把三个点都连起来，你能想象出这个三角形的样子吗？（生点头）老师在黑板上点三个点，你又能想象出这个三角形的样子吗（生点头）那么这三个顶点有什么作用呢？

　　生：能告诉我们三角形的形状。

　　生：还能告诉我们三角形的位置。

　　师：是的，三角形的顶点作用很大。所以，我们也可以说，把不在同一条直线上的3个点，分别用线段连接起来的图形叫做三角形。（用手势和PPT辅助说明）

　　5、 师：知道了顶点的作用，同学们再思考一下，三角形定义里为什么不说“角”。

　　生1：因为线段围成了，就有角了。

　　生2：因为线段的端点重合了，就是角。

　　师：是的。数学的定义要尽可能准确、简结。

　　6、 结合定义，判断下列图形是不是三角形。（图6）

　　7、给多边形下定义：

　　师：能不能依照三角形的定义，说说什么是四边形？五边形呢？n边形呢？n最少是几？

　　师：三角形是最基本的多边形，四边形、五边形都可以分割成一个个三角形。（图7）

　　四．我的体会

　　教学中发现，引导学生经历定义三角形的过程，虽然用时相对较多，但确实能促进对三角形概念的理解。教师是沟通学生与知识的桥梁，学生的基础决定了教学的起点，教师对知识的理解则决定教学的方向与终点。对三角形定义“教什么”的思考，目的在于促进教师对数学知识本质的理解，为正确的教学奠定基础，从而带领学生经历数学学习的探究之路，感受数学概念的严谨。