开启初三的数学之路——二次函数研究报告

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2000多年前的古希腊人梅内克缪斯在制作日晷时发现把圆锥从不同的方向切开会形成不同的曲线，其中一条就延伸出了圆锥曲线论，抛物线，再到延伸至今的二次函数。这就是二次函数的前世故事。

书中有很多“长相”不同的二次函数，例如:y＝πx²、y＝－x²+20x、y=x²－16π、y=26x²-52x+26等，他们的表达式都可以表示为y=ax²+bx+c的形式，所以我们把形如y＝ax²+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数。这就是二次函数的一般式和定义。

首先，二次函数的图象是抛物线是它的定义。每个函数图象都会有最值，这要根据函数图象的开口方向来决定 ，开口向上则其有最小值，开口向下则其有最大值。最值的纵坐标也就是至关重要的顶点，顶点也是增减性变化的分水岭。

二次函数的一般式为y＝ax²+bx+c（a≠0）那么其中的参数对函数图象又有什么影响呢？

其中的a是负责开口方向和大小的，a＞0则开口向上，反之则开口向下；a的绝对值越大开口越小，a的绝对值越小开口越大。

在一般式中的参数c负责图象的上下平移，当c为正数时二次函数图像向上平移，当c为复数时二次函数图象向下平移。平移后的顶点的纵坐标为c，最值也为c。

二次函数图像进行左右平移时是在x上进行加减，遵循左加右减的原则，将这个数设为h，则平移后的图像的对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，0），注意下图增减性也发生了变化。

顶点式是任意平移的产物 ，其中（h，k）代表平移后的顶点，抛物线对称轴为x＝h。

一般式就是顶点式中b和c都为0时的特殊情况。

根据一般式也可以推算出对称轴和顶点坐标，根据上图得知两个式子中的a相对，

h和-b/2a相对，k和4ac-b²/4a相对，所以我们就可以通过一般式来求对称轴和顶点坐标了，则求对称轴的公式为:x＝-b/2a，求顶点坐标的公式为:（-b/2a，4ac-b²/4a）。

二次函数的第三种形式为交点式，注意!这个交点式的使用条件是二次函数图象必须和x轴有交点。交点式是由一般式因式分解得来的，因其有时可得两个解所以又称双根式。判断一个一般式和x轴有无交点可以通过把一般式中的y化为0再求出△，若△≥0则与x轴有交点。

一般式中的参数a，b，c也有很大的作用。例如:a，b同号则对称轴再y轴左边；a，b异号则对称轴在y轴右边，这里还有一句口诀:同左异右。当x＝0时 函数图象和y轴的交点为（0，c）。

最后给大家一个做题小技巧（补充:当二次函数图像开口向下时，与对称轴距离越大，函数值越小；距离越小，函数值越大）。

这次的二次函数研究报告到这里就结束了，新的学期要开始了，让我们元气满满的迎接新的征程吧！💪