尝试证明全等三角形积角边定理(QAS)

苗子

辅导舟舟精练全等三角形这一讲的第1题，如图，叫舟舟随便加一条件，使BE=CE。万万没想到，他加了一个很二的条件，🇸🔺ABD=🇸🔺ACD，实在太坑爹和离题了。我只好让他重温两年前学过的证明燕尾定理的方式，去证明BE=CE。

但竟然不需用上原有的∠ABD=∠ACD，如图，即使整个图形歪斜了，证明也是成立的。那么，∠ABD=∠ACD起着什么作用？我认为是使图形对称，以达成上图△ABD和△ACD全等。

如果两个三角形的面积、一个角和一条边分别相等，那么他们全等吗？接下来，我几何和代数的方法去证明。

1、纯几何方法。

通过重合相等的边，将两个三角形合并成一体图形。图a和图b都是最普遍的非特别类型的三角形。证明过程以图a为主。

2、纯代数方法。

利用余弦定理和正弦定理，可以将角转化成三角函数去运算，能简单直接计出另外两条边(AB和AC)的值，这是几何无法做到的。然后解方程得出相当复杂的结果，发现在两组解(AB=c，AC=b)中，a₁²= b₂²，b₁²= a₂² ，当AB>AC或AB<AC时，只有其中的一组解符合题意，当AB=AC时，会化简得a² = b²= a²/2+ah·cotθ 。

作中线AE，并进一步计算出AD²、BD²、CD²、ED²和AE²的值，发现AE² = a²/4 + ah cotθ是最简单和最基本的。所以第3种证明方法就以中线AE为突破点。

3、混合型方法

(1)先通过中线定理、余弦定理和正弦定理计算出两个三角形中线相等(AE=A'E)。

(2)再用直观的几何方式推导两个三角形(🔺ABC和🔺A'BC)全等。

相比前两种方法，显得更简单易记。

附1:中线定理(pappus定理)证明

附2:非典型积角边全等三角形