别走得太快，等一等数学心！（一类题的解析情景和意境）（文3）

微风

腰线

解析

数学

情景

等腰三角

思维

三角形

等线

意境

中点

文前语：本文所述的“两组等线中点链”情景试题，是初二学生必然会遇到的一类难题。要想自如地破解此类试题。务必对其问题情景和思维意境知根知底，这样，才能用有序的解析手法，熟悉、熟练地秒杀它们的解析思维。

等一等数学心 （之一）

　解答数学题，考查着一个人的数学心是否能够与数学条件和结论进行有效的、含蓄的对话。经过反思洗礼的数学心，能够用修炼到的数学密语，与问题的情景和思维策略、意境进行有效的密谈，讲述出试题隐含着的美妙解析思维故事。

　以两个等腰三角形（含隐性的）为试题的大背景，可命制出很多有思维颜值的试题。

这里，一颗数学心与一类有特质的问题条件和结论，产生了如下有数学思维味的对话。

问题呈现：

如图，CA=CB，DB=DE，

∠ACB+∠EDB=180°，P为AE中点，

探究：PC与PD之间的位置关系。

　你能立即就说出PC与PD的位置关系吗？

数学心：当然能！

因为这类探究问题的密语是：PC⊥PD.

因为在两线PC、PD已经交于点P时，它们的位置关系，必然是特殊的相交关系→垂直。

这类试题的解析有章可循吗？

它是什么情景特征的试题？

它有何规律性的思维意境？

数学心：这是考场上常出现的一类探究问题。其最显著的两大情景特征是：

1、两个显性或隐性的等腰ΔCBA、ΔDBE共点于底角顶点B.

2、中点线段AE的端点A链接着等腰ΔCBA的腰线AC，另一端点E链接着另一等腰ΔDBE的腰线ED，

即：特征1、两个等腰三角形共点于底点

特征2、有一条中点线段的两端点“链接”着这两种不同的腰线。

不妨创造性地称它为“两组等线中点链”情景。

或者简称为：等腰底共点，中点来链接情景

注：为便于叙述，等腰三角形的腰称为腰线。

等腰三角形的底角顶点称为底点。

以此情景为探究背景的试题，在各地每年的中考场上，几乎总要演出多场。只不过很多时候是戴着等腰三角形、正方形、菱形等基本图形的面具出现，因为这些图形都是含共点等线的隐性等腰三角形。

那我们就接着进行战术性对话吧

1、条件中的两种四条腰线想干什么？

也即共底点的两个等腰三角形想干什么？

数学心：请把它们的腰线重新组合搭配，从而构造出全等三角形。

2、怎样组合搭配构造？

数学心：（1）共于底点B的两种两条腰线BC、BD搭配出现成的ΔBDC，

（2）不共点的另两种两条腰线（也即中点线段AE端点链接着的腰线）ED、AC搭配出一个创造的新三角形。

3、怎样创造新三角形？

数学心：将中点线段AE端点链接着的腰线AC或ED（简称为中端腰线）进行变换位置的相等变化。从而用四条腰线中不共点的这两条腰线构成一个新三角形。

4、变换哪一条线段？

数学心：一般地，让两条中端腰线中的任意一条由中点线段的一端变换到另一端，都能构成新的三角形

5、谁来运输要变换位置的那一条中端腰线？

数学心：已经派中点这个高级的吊车来调换了。且它已经到现场了？

6、吊车在哪儿？

数学心:吊车就是链接着两种腰线的那条“中点线段”AE。数学人都知道，它是搭建“平等8字”全等三角形的搬运机械，能把“中端腰线“调换”到另一个端点处，使得出现一种新的共点腰线组合。

如解析图1那样构造“平8”模型，则AF=DE=DB,CA=CB就能合情合谐的搭配出新ΔACF.

知道了！理解了！

7、还要差一个等元素才能证明构造出新三角形与现成的三角形全等，怎么办？

数学心:推导重新搭配后的两种等线夹角相等。

8、怎么推导夹角∠DBC=∠FAC，

数学心:不是已经给了关于角的条件吗，它们就是用来加工等角的材料。

9、怎么加工？

数学心: 如解析图2所示，延长BD，使直线BD与直线AF交于M，（这两条直线相交了导角才快乐）

因为AF∥DE，所以∠EDB=∠FMB,

∵∠ACB+∠EDB=180°=∠ACB+∠FMB，

又看点M处的平角知∠FMB+∠AMB=180°，

则利用这两个180°关系可得

∠ACB=∠AMB，

则利用∠ACB=∠AMD所在的两个对顶角三角形（有时是利用共圆四边形），就能得到∠FAC=∠CBD.

想起来了，这是此类问题最常用的简便导角通用手法。只不过有较强的隐秘性。我一定认真反思，然后把这种导角的方法，存放到自己的“解题银行保险柜”中，以便随时快乐提取。而且给它一个优雅的名称：快乐直线相交导角法。

10、思路已经到达目的地了吗？

数学心:∵新ΔFAC≌现成ΔDBC（SAS）

∴CF=CD，

又FP=DP，

则由等腰△CDF中的“三线合一”知CP⊥DP.

你“完胜”了，再见！

数学心:阳光还未拨散浓雾。不反思，怎能说完胜！不反思，下次遇到改头换面的“两组等线中点链”情景问题，其解析之路还是会走得摇摇晃晃，晕晕乎乎的。不反思，怎能说再见！

　　那就认真反思吧！

数学心：

一、解答数学题，一定要有捕捉试题情景的强烈意识和敏感能力，这样，才能根据所捕捉到的情景特质 ，产生远见卓识的思维意境。没有情景，难以有见微知著的思维意境。

请用一双慧眼去一眼就辩识出那些是“两组等线中点链”的试题吧！

二、如果是含有“两组等线中点链”的情景，则应重视如下有序解析的思维策略和手法：

三大策略：创造一个新的三角形，使它与看出的现成三角形全等。从而获得等腰三角形。最后获得直角三角形。

所以，解析思维意境是：

1、看三角形：看出由两种两条共底点的腰线构成的现成三角形.

2、转移线：添加辅助线构造“平等8字”模型转移“中端”腰线。

3、导夹角：用“快乐直线相交导角法”推导等夹角。

这是解析难点！为防止出现“晕角”，应以不同的路径策划去练习导角，从而获得意境相同，路径不同的添线手法。

为了磨练胆大心细的数学心，应再找几道此类题聊一聊。

4、得全等：由不动的中端腰线和转移变换的线段搭配出新三角形≌现成三角形。

5、生等腰：由全等三角形的等边得等腰三角形。

6、得垂直：由“三线合一”得垂直。

这6大意境、步骤，就是解析两个共底点等腰三角形的两组等线中点链这一大片试题的通性通法。

看来，少刷十道题，才有时间多反思一道题，才能从容地应对那些虽改头换面，（例如重庆16年B卷，17年A卷），但本质情景仍然是或者包含着“两组等线中点链”的各种探究问题。

别走得太快，等一等数学心。

一、碎片化的书本知识变现难在哪里？

答： 说不明、理不清、想不到的“三不困惑”。

为什么会有“三不”之惑？

答：少琢磨、少梳理、少创造的“三少陃习”。

杀毒软件：勤反思、慧提炼、有味道、有创造

用一种自觉的好习惯，再把此题做一遍。不过这次是用变换另一条中端线段AC的方法去做。说不定直接就产生了相交直线形成的对顶角三角形，则就能更快乐地导出相等的夹角。

做了吗？

做了。哇！这样真的更容易导出等角。

有规律吗？

数学心：有。若捕捉到两条“快乐直线”呈现出直接相交状态，导角会更快乐。

再练一练： 在原解析图1中，让直线AF与直线BC相交，看看是否也能导出等夹角。然后通过反思去体悟怎样的“快乐直线相交导角”更快乐。

等一等数学心（之二）
刷题不能刷出精灵的思想方法，是对时间和精力的极大浪费。

一、导出等夹角的秘笈。

在本文档（之一）中说到：为防治“晕角”，可用不同的思维意境策划去导出相等的夹角。

导角法二：如解析图3，让直线AF与直线BC快乐相交，也能快乐地推导出∠FAC=∠DBC。

让直线AF与直线BC相交于M，

由“平8”全等三角形得AF∥DE，

∴∠M=∠γ，

又已知∠ACB+∠BDE=180⁰，

看图点C处的平角知

∠ACB+∠MCA=180⁰，

∴∠BDE=∠MCA=∠β

∴∠FAC=∠DBC=180⁰-∠γ-∠β，

解析三：如解析图4那样转移中端腰线AC为EF，则在构造“平8” 时，两直线EF、CB直接快乐相交。

∵AC∥EF，∴∠ACB=∠α，

已知∠ACB+∠BDE=180⁰，

看图点M处的平角知∠α+∠β=180⁰，

∴∠BDE=∠β，

则由图中两个∠β所在的对顶角三角形（或M、D、B、E四点共圆）得到夹角∠FED=∠CBD。

∴新ΔFED≌现成ΔCBD（SAS）

∴DF=DC，

又点P是等腰ΔDCF底边CF的中点，

∴CP⊥DP.

我们应反思到，如解析图2、3、4所示，只要让“那样”的两条直线快乐相交，都能导出相等的夹角。只不过“那样”的两直线有时是直接相交，有时需延长线段才相交。所以，究竟转移那个端点的中端线段稍有考究性，应看远一点、想远一点。

数学心：如此这般导出等夹角的秘笈，应该存入“解题银行保险柜”里。

二、“两组等线中点链”情景的几道压轴中考题。

文（之一）曾说到：没有情景，难以有见微知著的思维情景。捕捉到试题的问题情景特质，才能产生有远见卓识的思维意境。所以，务必领悟好上述例题所说的情景捕捉和有章可循的思维策略及意境。

下面，在看简述解析思路的讲解和动笔中，反思一些同学在见到如下中考试题时，为什么会是“过尽千帆皆不是，斜晖脉脉水悠悠”的无助答题状态。

一、试题情景捕捉

1、菱形是有共点等线的隐性等腰三角形图形。

2、这两个菱形共点于底点B。

3、中点线段DF链接着这两个隐含等腰三角形的菱形。

所以这是“等腰Δ底共点，中点来链接”的“两组等线中点链”情景问题。

二、请按如下通用的思维意境动笔解析

1、看出共点的现成ΔCBE，

2、创造“平等8字”模型转移中点线段DF端点的隐性腰线FG，

3、推导两种线段重新搭配后的夹角相等。

4、由新三角形与现成三角形的全等推导出等腰三角形。

5、由等腰三角形得到计算PG/PC的直角三角形。

注意用“快乐直线相交法“去进行导等角的计算

数学心：反思到一种属于自己的典型情景内幕真相，就能破解无数多的类似情景的更难考题。

观察与思考：

1、两条线段的关系包含什么样的关系？

数学心：位置关系，数量关系。

2、是“两组等线中点链接”的情景吗？

数学心：是它惠顾！

（1）两个等腰三角形共点于底点A，

（2）中点线段BE的端点B链接着腰线BC，

端点E链接着腰线ED。

3、提取什么有序的解析思维策略和手法解答？

数学心：此类情景的试题解析一般有三大策略通罗马。

①构造“平8”的方法。即前述方法。

②取“两斜边中点”法。

③直角三角形翻折法。

即将两个直角三角形均沿共点的直角边各自翻折。

对②、③两种思维意境本文不述。但只需按所述思维意境添加辅助线后，就能用同样的通性通法去解答。

这里只提取”构造平8法”的思维意境解析。

①看出两种腰线共点于A的现成ΔDAC，

②构造“平8”转移中端腰线ED；

③由两种腰线的新搭配和用快乐相交直线法的意境导出的等夹角，获得新三角形≌现成的三角形；

④用全等三角的等线推导出等腰三角形；

⑤由等腰三角形得到探究两线关系的直角三角形。

注意：提取“解题银行保险柜”中的“快乐直线导角法”导角才会快乐地导角。

解析路径已入心头，该动笔头了。

1、 你能一眼就看出此重庆2016年中考B卷试题第（2）问的情景吗？

数学心：能秒杀问题情景。

（1）两个等腰三角形共点于底点C。

有现成ΔCAE.

（2丿中点线段BD的端点B链接着腰线BA，端点D链接着腰线DE。

2、辅助线会自动跑来吗？

数学心：能！构造“平8”。

原来，没有患“缺乏情景症”，辅助线的添加就会是如此容易！

原来，没有清晰的情景，就难以产生顺畅的解析意境。

3、能用“快乐直线相交导角法”去导夹角吗？

数学心：那是值得信任的最简捷导角法。

请用前面总结提炼的有序通性通法动笔解析

数学心还想说：坚持与解析进行认真、智慧的反思对话，则答题的思维策略和方法，就会从题中来！就会到题中去！

让我们再去练练下面的重庆2017年中考几何压轴题吧。

第（2）问的欢察与思考：

问题的情景捕捉到了吗？

数学心：已捕捉到。

（1）两个等腰RtΔMAB、RtΔMCD共点于顶角点M。即不是共点于底角顶点了。

则思维意境应该是由“共点三等出三等模型”，通过ΔMBD≌ΔMAC（SAS）导得BD=AC，

又AC=EC，∴BD=EC。

（2）则看出中点线段BC的端点B链接着BD，端点C链接着CE，

所以，是“中点链两组等线”的变式情景→中点线段BC链接着等线BD=EC。

数学心：既然已知问题的情景真相，当然就能轻轻松松的用沉淀的思想方法去破解！

所以， 构造“平等8字全等模型”转移中端线段，是可信任的思维起点。

请按你的思维意境、用转移中点线段BC端点等线的不同意境，获得多种构造“平8全等”模型的手法动笔解析吧。

最后，我还是想再说：

别走得太快。等一等数学心！

等一等两组等线中点链的情景和思维意境入心，入脑。从而用这些解析思维策略和手法，去看透、去解析那些关于中点线段链接等线的一大片几何题。

当然，不要忘记了等一等解析”两个同角度等腰三角形共底点”的“两组等线中点链”这类试题的另外两个解析思想方法。即

②取“两斜边中点”法。

③直角三角形翻折法。

因为它们都能快速地让思维到达目的地。所以，行走在三个常用解析通道之一的路上，都能让那考场上的时间和考分跑不了。

更不要忘记，等一等两个同角度的等腰三角形在顶角点处共点的“共点三等出三等”这个关于全等三角形应用的，最最最重要，最最最常用的模型知识。（此深层性的模型知识，今后专题续集讲述）

用你的数学心和两个大小不同，但角度相等的等腰三角形，去仿制一道“共底角点+中点链”情景下的探究问题。再命制一道“共顶角点”情景的探究问题。从而让自已的数学心享受一下命制中考压轴题的快乐。