<h3 style="text-align: center; ">认识小数</h3><div style="text-align: center; ">千课万人 杭州 袁晓萍</div><div style="text-align: center; ">2017年11月23日下午第二节</div><div><br></div><div>课前交流：</div><div>师：孩子们好！</div><div>我知道——你们刚才已经上了一节数学课了。</div><div>我想问——你们还有力气上第二节数学课吗？</div><div>生齐答：有！</div><div>师：果然我听到了力气，满满的能量还在！</div><div>我知道——你们上一节课学的是面积。</div><div>我想问——你们这节课还想学面积吗？不想。</div><div>我知道——采荷一小的孩子举手都是这样举的。</div><div>我想问——你们一会儿能不能把举手的姿势举得再漂亮一点给袁老师看看？</div><div>那一会儿上课的时候我们也这样，用上“我知道”和“我想问”一起聊一聊好吗？</div><div>生齐答：好！</div> <h3>一、直接引入，呼唤学习经验。</h3><div>师：今天这节课首先袁老师要和大家玩一个游戏。这个游戏叫做看谁记的快。一本袁老师最近在看的数学书。它的价格一会儿会出现在屏幕上。请你用又对又快的，用数学的方式把它记录下来，大大写在这张白纸上，快速举高。可以吗？那先把笔准备好吧！</div><div>（出示大屏幕。）</div><div>师：没看清，那再给你看一点好不好？你们怎么知道我准备了两遍？再来一遍啊，眼睛瞪大！</div><div>（出示大屏幕。）学生记录。</div><div>师：孩子们，把你们的作品轻轻放在桌面上，然后坐正。</div><div>刚才袁老师看到我们很多同学都写了这么多的字，分别是六元、七角、六分，有没有更快一点、更简便一点的方法可以来记下刚才我们所看到的这本书的价格呢？</div><div>生1:六点七十六元。</div><div>生2:六点七六元。</div><div>师：他们两人说的好像是另外一种数，你们见过这种数吗？请他们把他们发现的这个数，大大的写在黑板上好吗？如果和你心里想的是一样的，一会儿请你给他们热烈的掌声。</div><div>生板书，全班鼓掌！</div> <h3>师：向大家介绍一下你写的这个数。</h3><div>生3:6表示的是六元，7表示的是7角，也就是70分，在加上6分，就是76分。</div><div>师：听懂了吗？听懂了！请把掌声送给第一个把小数带到我们课堂的孩子。</div><div>我看到有一个小朋友在举手。你要补充吗？</div><div>生4:我用的不是这个方法。我是把图片给画好在后面加上单位。</div><div>师：然后再把它一个一个合起来是吗？真好。</div><div>刚才我们用的各种各样的方式是不是都可以表示这两本书的价格？</div><div>生齐答：是！</div><div>师：请问，现在看着他们，请告诉我，又对又快的把它记录下来，你更喜欢哪一种？为什么？</div><div>生5:我喜欢6.76元，因为这样写得快，还能把意思表达出来。</div><div>师：谢谢你的选择，还有不一样的吗？</div><div>生6:我喜欢6.76，因为这样记又快，又不费脑筋。</div><div>师：也就是比较方便！还有吗？</div><div>生7:我觉得6元7角6分好一点，因为这样比较直接，可以一眼看出到底是几元几角几分。</div><div>师：更加直接，是吧！同学们说得都很有道理。其实这两种表示方法都可以把书的价格记录下来。刚才第一个把小数请到我们课堂的同学，他们觉得小数记录更快一点，更方便一点。今天这节课我们就一起来认识这个写起来比较方便的——小数。</div> <h3>二、主动探究，体会小数意义。</h3><div>1、借助生活经验，探究小数读法。</div><div>师：请问你们在生活中见过这样的小数吗？见到过的同学举手看看！</div><div>这么多同学都见过，在商店里各种各样的价格牌里，有没有见过？</div><div>它们到底怎么写？怎么读？表示什么？到底要付多少钱？还有更多小数的知识？看来你们都知道，你们自己来学好吗？</div><div>生齐答：好！</div><div>师：那关于小数更多的知识，请你用上“我知道”和“我想问”赶紧跟你的同桌说一说，开始！</div><div>（同桌活动。）</div><div>师：怎么样？关于小数的知识和同桌交流后有没有更多的收获？请用上“我知道”和大家说一说你还在哪里见过小数？</div><div>生1:我知道铅笔要9角元</div><div>师:9角钱。你已经知道铅笔要付多少钱了。还有你知道的吗？</div><div>生2:我知道超市里面我见过这些小数。我想问还有什么地方有这些小数？</div><div>师:太好了！我也想问啊！除了标价牌上有，还有哪里有啊？</div><div>生3:我知道身高、体重，考试的试卷上有小数。</div><div>师:刚才你们学习了面积，像我们的大会堂，它的面积结果也可以用一个小数来表示。看来小数既可以很小也可以很大。那你会写吗？</div><div>生齐答：会！</div><div>师：刚才黑板上已经写了一个了，老师做一个小纠正，大家在写小数时，中间的这个叫做——小数点，既然是小数点，你知道我们写的时候要注意什么吗？</div><div>生4:要写小一点，不能写的像顿号一样。</div><div>师：那所有黑板上的小数你会读吗？</div><div>生齐答：会！</div><div>师：第一个我们已经读过了，那第二个？</div><div>生5:六十五点六五元</div><div>师：读的对不对呀？</div><div>生齐答：对！</div><div>师：掌声送给她！如果读得再响亮一点就更棒了，你要不要再读给大家听一听。</div><div>生5：六十五点六五元</div><div>师：读的真好呀，两个都是六和五，她读的一样吗？</div><div>生齐答：不一样。</div><div>师：谁听出来啦？举手的同学真会听。</div><div>生6：她读的是六十五点六五。</div><div>师：小数点右边是怎么读的？</div><div>生齐答：六五。</div><div>师：像读电话号码一样的读法，对不对？小数点的左边按照整数的方法读，小数点的右边按什么方法读？</div><div>生齐答：像电话号码这样读。</div><div>师：那下一个你会读吗？一起读一读。</div><div>生齐答：零点零九元，零点九零元。</div> <h3>2、借助生活经验，探究小数意义。<br></h3><div>师：书包的65.65元，我们应该付？</div><div>生1：65元6角5分。</div><div>师：下一个我们应该付？</div><div>生2：下一个应该付9分。</div><div>师：再下一个，我们应该付？</div><div>生3：再下一个应该付9角。</div><div>师：这两位同学读的小数都是两个0一个9。那为什么一个要付9分，一个要付9角呢？</div><div>生4：因为一个便宜一个贵。</div><div>师：你是怎么知道一个便宜，一个贵的？</div><div>生4：因为分要写在角的后面，尺子的价格9写在最后面，所以肯定是9分钱。另一个的价格9写在第二个，所以应该是9角。大家听明白了吗？</div><div>生齐答：听明白了！没有明白！</div><div>师：谁有本事让大家都听明白？</div><div>生5：小数点后面的，其实就像99，一个在十位，一个在个位，前面那个9在十位的，后面那个9是在个位的。十位的就比个位的大。前面那个9是9角，后面那个9是9分。</div><div>师：太棒了，我都听到他把以前学的十位和个位的知识都用上了！其实小数点的右边，它所在的位置不一样，它表示的意思也不一样。</div><div>像这样以元为单位的小数，刚才我们都是怎么付钱的呢？元在哪里？有同学都在指啦！</div><div>生6：元在小数点的前面。</div><div>师：不叫前面，叫小数点的左边。</div><div>小数点的右边第一位付的是？</div><div>生齐答：角。</div><div>师：小数点的右边第二位付的是？</div><div>生齐答：分。</div><div>师：原来它是跟位置有关系的。</div> <h3>3、引导学生质疑，学习小数知识。</h3><div>师：好，我们知道了这么多关于小数的知识，请问有没有你想问的关于小数的知识呢？我想问……</div><div>生1:我想问小数，最后能排几个？</div><div>师：多好的问题呀！把掌声送给他！好棒啊！有没有人能够回答？小数最多能有多少个？</div><div>生2:能写几个就写几个。</div><div>师：有一个很高级的词语。刚才好像有同学说出来了。多少个？</div><div>生3：无限个。</div><div>师：想想还有什么东西的个数也是无限个？</div><div>生齐答：整数！</div><div>师：原来小数和整数一样，它们的个数都是无限个。</div><div>好棒的问题，回答也非常棒，还有想问的问题吗？</div> <h3>生4：我想问为什么小数点后面的数要读得像电话号码一样？</h3><div>师：如果我们不读成电话号码一样……</div><div>生5:那样就有可能搞混，如果前面和后面读的一样就分不清楚哪个是几元哪个是几角几分了。</div><div>师：看来是需要进行区分的，再有如果说小数数位多了，那我们也无法确定最高位是什么位了。太棒了，不仅想知道小数怎么读？还想知道小数为什么这样读，非常好。还有想知道的问题吗？</div><div>生6:如果小数可以排无限个的话，那就无限个小数又怎么读呢？</div><div>生7：所以我们只能像电话号码那样读。</div><div>师：太好了，你看我们307班的同学就是这么能干，提出这么多有意义的问题，还能自己相互回答。</div> 4、观看小数微课，了解小数产生。<div>师：奖励一下！袁老师带来一段小视频。告诉我们关于小数的历史是怎么样的？想看吗？</div><div>（微课:你知道吗？中国可是世界上最早产生小数的国家。古时候呀，我们的祖先是用小棒来表示数的。这堆小棒表示的就是整数1323。为了能表示出13.23，他们就想到了把小数部分的数呀，放低一格，来进行区分。这可是世界上最早的小数表示方法哦。早在1700多年前，刘徽在注释《九章算术》的时候就提到过小数，只是当时书里的名字叫做微数。到了公元13世纪，我国元代的著名数学家朱世杰正式提出了小数的名称。有了阿拉伯数字之后，先后出现了许多不同的表示小数的方法。瞧，阿拉伯人把整数和小数两部分用空白隔开，欧洲人呢用顿号来分解，瑞士数学家呀用句号把整数部分和小数部分分隔开……还有像这样，像这样的分割方法，哎呀，是不是觉得好混乱呀！我们熟悉的小数点呢！终于到了1093年轮到德国数学家克拉维斯出场了，小圆点来表示小数点，做为整数部分和小数部分分界的符号。就这样我们熟悉的现代小数计数的表示方法，终于确立了。一起鼓鼓掌，欢迎这个来之不易的小数点吧！小朋友，小数的历史有趣吗？走进小数的世界。）</div><div>师：小朋友，小数的历史有趣吗？</div><div>生齐答：有趣！</div> <h3>三、巩固应用，活用小数含义。</h3><div>1、写小数。</div><div>师：继续来玩小数好吗？</div><div>生齐答：好！</div><div>师：接下来袁老师和小朋友们玩一个这样的小数游戏，名字叫做我圈你写。孩子会坐端正，听清楚要求。</div><div>干什么呢？就在这堆人民币里面要求只能圈出可以是三个一样的也可以是三个不一样的，然后马上就把你的这张纸交给你的同桌，让他以元为单位写一写小数。玩小数的时间只有一分钟，我们要比赛哪一组同桌玩的最多，开始！</div><div>（学生活动。）</div> <h3>师：请用手指表示你们刚才玩了几个小数？</h3><div>两个，三个，四个最多的是四个。</div><div>想不想知道我和我的同桌是怎么玩儿的？刚才我给我的同桌也出了两个小数，然后我就圈了其中的三个人民币，结果我的同桌说:啊！三分！三分怎么用元来表示？后来他很聪明的想到了表示的方法，袁老师先把它给藏起来，你们猜三分是怎么以元为单位表示出来的呢？</div><div>生齐答：0.03元。</div><div>师：我的同桌，你是这样写的吗？非常好，我们来剧透一下最后的结果，对啦！帮袁老师表扬一下我的同桌。</div><div>你们为什么要把掌声送给她？</div><div>生1：数字写的是对的。</div><div>师：那哪一个数字位置写的最好？</div><div>生2:3。</div><div>师：我到觉得她写的特别好的是0。</div><div>你看她在元的位置和角的位置都写了0，用来占位。这样我们就可以用原来进行表示了，对不对？</div><div>还给我的同桌出了一道题目。请问以元为单位来表示的小数应该是多少？</div><div>生3：0.07元。</div><div>师：好像有反对的声音。</div><div>生3：0.70元。</div><div>师：送给这个同学，说错没关系，自己会调整就好了。</div><div>也来帮这些同学调整一下。我们来看看他写的这个小数。他说我自己就想进行调整了，你们猜他想调整的小数是多少？</div><div>生4：21.60元。</div> <h3>2、数小数。</h3><div>师：袁老师也表示那个小数，你们想看吗？</div><div>生齐答：想！</div><div>师：把眼睛瞪大，袁老师一拿出来，就请你告诉我，它以元为单位是多少，好吗？</div><div>以元为单位，这个小数到底是多少元？</div><div>生齐答：1.11元。</div> <h3>师：这里有三个1，它们的意义一样吗？</h3><div>生齐答：不一样！</div><div>师：怎么不一样啊？</div><div>生1：第一个1表示的是1元，第二个1表示的是1角，第三个1表示的是1分。</div> 师：真好，现在袁老师有一个新的要求，我要在1.11元的基础上再加0.60元。我这儿有钱，谁想去加，再加0.60元？<div>学生上台演示。</div><div>师：他又在角的位置上加了六枚一角的硬币，请问现在的这个价格是？</div><div>生齐答:1.71元</div><div>师：如果我们在1.71元的基础上再加0.06元，应该在？</div><div>学生上台演示。</div><div>师：现在我们表示的小数是？</div><div>生齐答：1.77元。</div> <h3>师：这位同学真是数钱高手啊！老师这里还有一些钱，我们接着数好吗？</h3><div>生2：1.78元，1.79元，然后把这些全部拿走。</div><div>师：为什么？</div><div>生2：因为它满十，要向前一位进一。</div><div>师：满了10分就要往前进一，这句话好像很熟悉呀！叫做？</div><div>生齐答：满十进一！</div> <h3>师：真棒！让我们继续数吧！</h3><div>生2：1.80元，1.89？1.890？1.09？1.90元，2元。</div><div>师：我知道他为什么说两元了，因为他手里还捏着一角，接下来他应该怎么办？</div><div>生齐答：满十进一。</div><div>师：我们看到这两元对吗？让我们把掌声送给他！</div> <h3>就是刚才说的不太利索。让我们再来一遍，一起数一数。速度很快，你能跟上吗？</h3><div>生齐答：1.11，1.12，1.13……1.20</div><div>师：满十进一，我们继续数。</div><div>生齐答：1.20，1.30，1.40……1.90，满十进一，2.00。</div><div>师：这是几？</div><div>生齐答：两元。</div> <h3>师：同学们，这样的数数你们以前有没有差不多数到过的呀？</h3><div>生齐答：有！</div><div>师：什么时候呀？</div><div>生3：我看我爸爸在小超市买东西付钱的时候。</div><div>生4：以前我数零花钱的时候数到过。</div><div>生5：我奶奶买菜的时候数到过。</div> <h3>师：那你们以前在课本上也差不多数到过呢。这个东西你们以前看到过吗？大声的说出它的名字。</h3><div>生齐答：计数器！</div><div>师：以前我们在计数器上数的是什么数呀？</div><div>生：个十百千，整数。</div><div>师：如果用计数器来数小数，你们说OK吗？</div><div>生齐答：OK！</div><div>师：来看看！</div><div>生齐答：1.11，1.12，1.13……满十进一1.20</div><div>1.20，1.30，1.40……满十进一2.00</div><div>师：然后接着数3，4，5……</div> <h3>3、玩小数。<br></h3><div>师：能不能用计数器接着玩？带去我们就玩这个小数。</div><div>0.8元，请问用计数器可以表示0.8元吗？</div><div>生齐答：可以！</div> <h3>师：如果袁老师给你们一堆钱，你们能圈出0.8吗？这个长方形代表1元，那0.8元应该是个怎么样的长方形呢？如果这条线段是1元，那么0.8元该画在哪里呢？或者我们307班还可以脑洞大开，写一写关于0.8元可以怎么表示好吗？</h3><div>请从抽屉里面拿出作业单，每四人小组就有刚才这样一叠小纸头，请想好你想怎么表示0.8元，四人小组讨论讨论，分分工，用红笔大大的把它圈出来，表示出来！现在开始玩0.8。</div><div>四人小组活动。</div> <h3>师：让我们一起欣赏一下大家的作品吧！这么多的作品都表示0.8，你同意吗？我并没有看见0.8我看见的都是0.1呀！</h3><div>生6：它有8个0.1。</div><div>师：原来拿出8个0.1就可以表示0.8了。</div><div>有没有哪个作品改一改会和四号作品差不多呢？</div><div>生7：把三号作品把硬币挪到计数器上，就一模一样啦！</div><div>生8：一号作品，它竖着看也可以。</div><div>师：307班真了不起，看见的图都是动态的去看它。</div><div>袁老师还有一个小视频。我们一起看一看，一边看，一边比划比划，看看你能不能找到我们上面的这些作品。</div><div>（视频:动态演示，作品一到作品四的变化过程。）</div> <h3>四、全课小结。<br></h3><div>师：这些我们表示的方法有没有给你学习小数更多的启示呢？它告诉大家学习小数不但和我们已经学习过的整数有关系，接下来我们继续研究，它还会与我们学习的另外一些数有关系。刚才我们做的事情就和那种数是有关系的。那究竟是什么数呢？我们自己去研究吧。</div> <h3><br></h3><h3><br></h3><h3>评课:山东省淄博师范专科学校副教授 张良朋</h3> <h3>袁晓萍老师上课，轻松，惬意，亲和，透彻，于从从容容之间引领着学生们自如游走于数学的山山水水，自然而又美好！</h3><div>按吴正宪老师的说法，学生是在享受 “好吃又有营养的数学”。</div><div>这是一种高境界，因为袁老师用我们习以为常的简单素材就上出了数学的不简单，用并不繁杂的教学手段，却呈现出了数学的广度、温度和深度。学生学得一点不累，但学生学得非常不错！</div><div>但很显然，这又是一种不易达到的境界，是袁老师多少年潜心研修炼就的。个中奥秘笔者尚未参透，这里仅谈几点粗浅的看法，希望对老师们有点启发。</div> <h3>一、重学法迁移，让学生主动地学<br></h3><div>要想让学生成为自主学习者，除了给他们一定的时间和空间，教师还应当努力增进学生的学法意识和学法实践。</div><div>课前谈话时，袁老师借着现场的情景和学生聊起了“我知道……我想问……”的话题，并对学生明确提出了学习期望：“上课时发表意见要注意用上&Lsquo;我知道……我想问……&Rsquo;！”这正是对学生学法意识的激发，而课堂学习就变成了学生的学法实践活动——学生在同桌交流前袁老师都及时做了再提醒，汇报交流时学生也能较好地使用这种句式。“我知道”和“我想问”是学生学习的两股重要推动力，“我知道”重激发学生的“已知”（会调动已有知识经验），“我想问”重在激发学生的“未知”（会提出待解问题），由“我知道”发展到“我想问”正是学习前行的基本路径。</div><div>再比如，在引出生活中的小数例子后，袁老师在PPT上呈现下图：</div> <h3>图左的价格信息，暗含着很多的思维因子和知识营养，耐人寻味。而图右侧那些通俗易懂的问题，其实正是学生拾阶而上的学法台阶，循着这些台阶，自然就能抬高学生的自主学习能力。<br></h3> <h3>二、重学材设计，让学生精准地学<br></h3><div>优质的学材是唤醒学生学习热情、促进学生有效理解和掌握学习内容的活动载体和便捷通道。袁老师深谙此道，在学材设计上颇有独到之处。</div><div>比如，开始的“记录数学书的价格，看谁记得又对又快！”活动，袁老师是分“三步”走的。</div><div>第一步，呈现下图后快速隐去，学生看不清自然记不下，引起他们心理上的二次期待；</div><div><br></div><div>第二步，慢速呈现，让学生仔细观察进而把握图中的数学结构，学生开始独立记录；</div><div>第三步，呈现学生的记录结果，绝大多数学生记录为“6元7角6分”，袁老师探问“有没有更简便的方法记下价格”，“6.76”终于由“第一个把小数带进课堂”的学生写到了黑板上，可谓隆重登场。“你更喜欢哪一种？”几番对话之后，写起来更为简便的小数得到了更多的认同。</div><div>就这样简简单单的一份学材，因着袁老师的精心设计，带来的却是如此丰富多元的学习滋养。</div> <h3>再比如，袁老师课堂上对两段微视频的使用。<br></h3><div>第一段是“小数的历史”。</div><div><br></div><div>简短的视频中，蕴含着丰富的数学文化因子，既传达出了我国数学文化的源远流长，又推介了小数在国外的发展轨迹。是文化的熏陶，亦是思维的启迪。</div><div>第二段是“一起来表示0.8元”，动态演示了由钱币图到长方形图、线段图，再到计数器、数位顺序表的变化过程。这里体现了数形结合的思想，借助直观模型的变化，实现了多种表征方式的自然贯通。此时的微视频有效发挥了“微提示，深思考”的作用，虽过程简短，但自然充分、一气呵成，能有效引导学生积极进行观察、分析、比较、概括、表达，深入体味这其中 “变与不变” 的数学要义。这是知识与技能、过程与方法、思想与情趣的自然碰撞和深度融合。</div> <h3>三、重学程再造，让学生深入地学<br></h3><div>多数教材在编排“认识小数”时，都会借助分数的桥梁，体会“一位小数”“两位小数”和“十分之几”“百分之几”的联系。北师大版没有编入体会分数和小数联系的内容，该教什么？又该怎么教？</div><div>袁老师的选择是，把小数放在数的体系中，从数（整数、小数）的整体关系网中，让学生感受到小数和整数之间的联系和区别，从而建构对小数的初步认识。这在“你圈我写”的活动环节表现得十分充分。“1.11元”出现后，在百分位上每次“0.01元”往上叠加，直至“1.19元”到“1.20元”这一重要思维拐点的出现，学生从中体会到了小数中的“满十进一”，再往后在“1.20元”的基础上，每次“0.1元”往上叠加，学生又经历了“1. 90元”到“2.00元”的又一次“满十进一”。而且，袁老师还把整数学习中的重要教（学）具——计数器引入进来，用得恰到好处。由此，整数中熟悉的“十进制”拓展到了小数当中，这既是对十进制的完善，也是对小数意义在思想方法层面的一次深度建构。</div><div>这种教学用意在“一起来表示0.8元”微视频的播放和分析中也有很好的体现，前面已有分析，不再赘述。</div><div>最后提个问题：“数源于数”，袁老师试图用学习整数的方式来同化小数的认识，这样的教学创意非常可贵，也在教学活动的后半段有所体现，但我感觉还可以做得更充分些，比如前半段加入一点整数的复习活动，并着意凸显十进制的思想方法力量，与整数“小单位累加为大单位”的思路不同，小数采取的是“大单位分割为小单位” 反向延伸思路。这样十进制就真的起到了贯通小数和分数的作用。是否可行？期待老师们更新的探讨。</div>