原来数学是这样的 - 进位制

Wang Wei

帕斯卡

莱布尼茨

二进制

数学

十进制

我们

法国

就是

梅森

计算器

看到本篇封面图片，大家一定会想起电影«黑客帝国»（The Matrix）里代码雨的场景。

了解一点信息科学世界的人都或多或少地会听说过电脑里都是一串串壹和零的数字在运作。今天要讲的就是已经和我们的生活息息相关的信息学基本数制。

这个话题有点复杂，让一个已经掌握这个知识点的人来解释，不用点术语好像很难。想一想，我们还是先从一个小故事讲起吧。

在不久的过去，有个王国的公主学成海归，举国欢庆。国王决定举办盛宴邀请各国使节，万邦来朝，搞得比办个APEC还要热闹。按照国际惯例，128个邦交国家的大使都各自准备自己国家有特色的饮料赴宴。

宴会前一天，负责情报工作的江宁织造员外郎得知其中有一个国家预备的饮料里有毒。宰相接到报告后急得像只热锅上的蚂蚁：外交无小事啊，要是外国来宾们都喝出了问题怎么办？国王却很沉得住气：天不可下雨，娘不能嫁人，人定胜天！

唤来刑部尚书问：秋后还有多少个囚犯要斩? 答曰：7人。于是把他们都叫来，告之：现有试酒这个差事来换斩首，如果没有中毒就免罪。

那七个囚犯当然同意了，横竖是个死，饮酒而亡要比身首分家体面，更何况如果运气好的话还能回家，又是老婆孩子热炕头。

于是国王把七人叫作甲乙丙丁戊己庚，将饮料从0到127按各国电话区号编码，譬如埃及是20号，大秦是39号，海尔维第亚联邦是41号，暹罗国是66号，倭国是81号，波斯是98号。

甲，试前64瓶，剩下的不试。

乙，喝前32瓶，隔32瓶不喝，再喝后面32瓶，再停。

丙，喝前16瓶，跳16瓶，再喝16，再跳16。。。

大家应该看明白了吧，反正是每人都要品尝64种饮料，大家都按不同次序（2的n次方递减）跳着喝。

到了最后两人：

己，试2瓶，停2瓶，再试2瓶，再停2瓶。。。

庚，喝1瓶，下一瓶不喝，再喝第三瓶，只喝单数，双数不喝。。。

数时后，发现乙和戊倒地不起。如果侥幸生还是1(True)，生命终结是0(False)，排成顺序就是：甲(1)乙(0)丙(1)丁(1)戊(0)己(1)庚(1)。

国王细心地把1011011换算成大家都能看懂的数字，答案是91。

卧槽，又是身毒国！整天暗地里做小动作。于是客曹尚书当天就义正辞严地表示：王国将保留作出进一步反应的权力。用人话说就是：这个梁子咱们算是结下了，别逼我拿板砖儿拍你丫的。

国王使用的数字就是所谓的二进制，我们先把这个名词搁下，再来讨论一下时间的换算。

众所周知，每60秒是一分钟，每60分钟是一小时。2个小时45分钟35秒换成秒是：

2*60*60 + 45*60 + 35*1 =

7200 + 2700 + 35 =

9935秒

60*60就是60的平方，可以写成60^2，也叫60的2次方（或者叫2次幂）。这里60被称作底数，2被称作指数，此类运算叫幂运算。

除了0之外，任何数的1次方是其数本身，n^1 = n，n ≠ 0。

除了0之外，任何数的0次方永远等于1，n^0 = 1，n ≠ 0。

因此，我们可以把上面的公式写成以下的形式：2*60^2 + 45*60^1 + 35*60^0

10的幂很容易算，只需在后加0即可，我们可以用科学计数法（Scientific notation，这个方法是阿基米德最先提出的）来表达计数方式。

那我们就来看看9935秒这个数字是怎样以10的幂运算来表达的。

9935秒 =

9*1000 + 9*100 + 3*10 + 5*1 =

9*10^3 + 9*10^2 + 3*10^1 + 5*10^0

无论是 2:45'35"（2*60^2 + 45*60^1 + 35*60^0）， 还是 9935秒（9*10^3 + 9*10^2 + 3*10^1 + 5*10^0），其实我们都是在说同一件事情，只是进制（也就是我们算式的底数）不同而已。2小时45分钟35秒的表达方式是六十进制，而转换成的秒数是十进制。

见过了六十进制和我们熟悉的十进制，我们还接触过什么进制呢？

时辰，节气，黄道，生肖。无独有偶，老外们的小时，月份，星座也都是十二进制。和时间有关联的很多是十二进制。最早观察时间用的是日晷，是需要分圆的。12或24容易被二等分，三等分，四等分甚至六等分。

到现在时间还是12/60进制，推广公制也没有能把时间改成十进制。在这一点上，东西方都很统一。很多东西都不是当时人类拍脑袋想出来的，都有其物质基础。

而重量单位，很多倾向于十六进制。我们所说的“半斤八两”就是来自古代的两铢制，英美的盎司制也是十六进制。为什么？分东西方便啊，可以无限二分。

直到本世纪初，美国股票市场股价的小数部分才使用十进制的美分（Penny）来计算，最小单位是一厘，以前最小单位都是1/8美元或1/32美元，这可能和美元的金本位有关。当时在大厅里的交易员用拇指代表4，其他手指代表1来喊价。十指全伸就是16。

说到手指，也造就了我们最熟悉的十进制，根本原因就是原始人掰手指计数方便。罗马人用的是五进制，数大数时最后都能数得蛋疼。玛雅人聪明，不穿鞋，就采用二十进制。阿拉伯人和天朝人文明，动手不动脚，采用十进制并将其推广到全球。

讲了这么多的进制，而二进制，也就是2的幂运算是我们今天的关注点。

我们想知道前面故事里的国王是怎么将1011011转换成十进制里的91的呢？

有了刚才幂运算的知识，又知道底数为2时，我们就可以轻而易举地得出结果了。

1011011 =

1*2^6 + 0*2^5 + 1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 =

64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 =

91

如果我们有十进制的91，想转换成二进制的数字，怎么办? 我们就用整除法来得出。

2 除 91 得 45 余 1

2 除 45 得 22 余 1

2 除 22 得 11 余 0

2 除 11 得 05 余 1

2 除 05 得 02 余 1

2 除 02 得 01 余 0

2 除 01 得 00 余 1

(完)

记得，要从下往上数，就可以得到二进制中的对映数1011011了。

那么二进制和其他进制相比有什么长处呢？

世界上经常有分两种状态的事物，这就是普遍的先民哲学之一“二元论“：温度分冷和热，距离分远和近，色度分明和暗，地势分高和低，厕所分男和女（这里允许咱们政治不正确一下哈）。

在电子技术上，电路的开与关；晶体管中导通与截止；磁介质的带磁与无磁，这些与二进制中的0和1都可以一一相映。

二进制运算法则比较简易，可以使用结构简化的机器来实现，控制也非常简单。而且0和1可以直接用来代表逻辑代数里的“真”和“假”。在我们前面的小故事里就是用它来代表中毒还是不中毒。

求和法则：

0 + 0 = 0，0 + 1 = 1，1 + 0 = 1，1 + 1 = 10

求积法则：

0 × 0 = 0，0 × 1 = 0，1 × 0 = 0， 1 × 1 = 1

从国王试酒这则故事可以看出二进制的成本很低。七个囚犯就够了，要不然得128人来试喝。

总之，如果用二进制来处理计算机/器内部的信号，技术容易实现，成本低，二态的稳定性使其出错率相对很小。

在二进制编码中为了方便快捷，经常取三位一组，这就成了八进制，比较早期的系统多数采用八进制编码。

其实八进制我们也很熟悉。与我同龄的朋友在读中小学时，无论是早上做的广播体操还是课间的眼保健操，喊的口令都是八乘八的拍子：一二三四五六七八，

二二三四五六七八，

。。。

八二三四五六七完。

在英文中，八进制数英文叫Octal number，缩写是Oct.；而十进制数叫Decimal number，缩写是Dec.。八进制的Oct. 31对映十进制里的数是Dec. 25。所以有个笑话说程序员分不清圣诞节和万圣节。

刚才说了，二进制非常适合自动处理信息，那么是谁特么脑洞大开想到用机器去做运算的呢？又是怎么把二进制整合进会计算的机器里的呢？

这里就不得不要提到两个人了：一个是法国人叫帕斯卡（Blaise Pascal），另一个是德国人叫莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）。

读过«原来数学是这样的»这个系列前几篇文章的朋友对帕斯卡这个名字应该很耳熟吧？我们讲过二项式系数的一种写法叫“杨辉三角”，在西方就叫“帕斯卡三角”。

其实我也不想这么叫，可人家偏要这么命名，更何况他们的科技比我们稍微发达一点，所以讲话时底气更足一点，不服不行啊。实话实说，中国人两千年来在科学方面是碌碌无为的。

1986年法国发行面值500法郎的钞票，用的就是他的头像。在«原来数学是这样的 - 高斯（上）»里我们曾经说过，印在钞票上数学家一共才四位：英国的牛顿、德国的高斯、瑞士的欧拉，还有就是法国的帕斯卡。这是世俗社会给予他们国家的科学家之王者荣耀。

中学里学过物理的同学一定不会忘记“帕斯卡”这个压强的计量单位吧，帕（Pa）= 牛顿/平方米（N/m^2）。没有学过物理也没关系，台风警报里讲的千帕就是这个单位。能活成计量单位的人都是智商逆天的人物。毋庸置疑，帕斯卡就属于这类牛人。

学信息技术专业的人也一定绕不过Pascal语言，就是为了纪念他的。是苏黎世高工的Niklaus Wirth发明的计算机高级语言，我读书的时候还听过这位得过图灵奖的教授的讲座，介绍他后来所设计的Oberon语言。

帕斯卡，1623年出生于法国中部的Clermont-Ferrand。广为人知的米其林公司也是出自那个地方，专长：造轮胎，品性：吃货。

那个时代欧洲正处于三十年战争，神圣罗马帝国因内战被打得四分五裂，人口损失四分之一到三分之一。其结果之一就是法国及其波旁王朝的崛起，直到大革命路易十六被送上断头台才宣告终结。

小小的帕斯卡就经历了人生四大悲苦之一 — 幼年丧母。

他的父亲（Étienne Pascal）的经历和另一法国数学家费马（Pierre de Fermat）很相像，在法院里当推事（Magistrat）后来负责税务的经济庭，属于权贵势力，但业余爱好都是研究数学。帕斯卡蜗线（Limaçon de Pascal）就是老帕斯卡发现的。

其实老帕斯卡之前一百余年的德国画家丢勒就曾对这一曲线进行过研究，在他1525年出版的«量度艺术教程»一书中给出了蜗线的画法。我在«原来数学是这样的 - 黄金分割»一文里介绍过丢勒这位著名的德国版画家。

帕斯卡蜗线是外旋轮线（Epitrochoid）的两圆半径相等时的一个特例。旋轮类曲线就是研究一个滚圆和一个基圆相切时滚动过程产生的轨迹。有外旋轮线那一定有内旋轮线（Hypotrochoid）。

有种玩具叫万花尺（Spirograph）就是追踪外旋轮线和内旋轮线，如果能淘宝到，孩子们肯定喜欢。如果哪位用Logo语言启发孩子编程兴趣的，也很容易用它来画旋轮线图。

如果一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹呢，在数学里我们称它为摆线（Cycloid）。

在网上看过一位浙大数学教授的讲座，他就把老帕斯卡研究旋轮线的成果和小帕斯卡搞混了，此帕非彼帕也。

苦孩子成熟早，帕斯卡在童年时期就展示了他的聪颖，尤其对数学有兴趣。其实也赖他父亲的影响，老帕斯卡当时和那个年代最有才华的法国数学家们交往很深，其中有教父梅森（Marin Mersenne）、笛沙格（Girard Desargues）、伽桑狄（Pierre Gassendi）、笛卡儿（René Descartes）等人。

在那个时期，也讲究“学而优则仕”，研究数学并不是一份很来钱和体面的差事，如同其它父母一样，都希望自己的孩子们有更舒适的生活。老帕斯卡希望自己的孩子把基础打好，同自己一样先去索邦学院读书，然后替国王做事，最后才“仕而优则学”。

十一岁时，对声音的好奇使得帕斯卡写出一篇关于身体振动发出声音的论文（«Traité des sons des corps vibrants»，人教版的初二物理的第一课«声音的产生和传播»讲的就是这个）。

十足让他父亲惊喜了一番，喜的是这个孩子太聪明了，惊的是这孩子过早沉迷于自然科学，就是不走正道。竭尽全力想把他从自然科学这条不归路上拖回来，甚至禁止他学习数学。

年少之人，你越是阻止他，他就越会向前闯。这是在为个性独立而奋争，天性如此，是拦也拦不住的，帕斯卡也不例外（很多父母到现在还没有懂这个道理）。

于是帕斯卡就自学欧几里得的几何学，大家可以想象一下在当时一没有补习教材、二没有课外辅导的状况下自学数学有多么困难。可人家还是在十二岁时就能在墙上用一块木炭独立论证了三角形内角和，条件之艰苦堪比延安时期。

庄老说过一句话：精诚所至，金石为开。更不用说是自己的父母了。于是看在眼里疼在心里的老帕斯卡开始允许这个神童儿子去学习数学，还让他去梅森教父的修道院里旁听那些数学家朋友们的讲座，但前提是不能废弃古希腊文和拉丁文的进修，可是限于那时的高考制度，那是打开高等学府大门的金钥匙啊。

梅森教父是十七世纪法国数学界不可或缺的人物，通过组织沙龙讲座和秘密旅行，与当时法国最顶尖且最有个性的数学家们 — 笛卡尔、老少帕斯卡，费马等人保持密切的联系。

后来成立的巴黎皇家科学院（Académie royale des sciences de Paris，在大革命中横遭解散，法国自废武功，拿破仑时期又被改组为法兰西科学院直到今日），路易十四以梅森的修道院沙龙里那批法国科学家为班底，又挖来外国的优秀人才。平日精打细算的财务大臣提供了丰富的赞助，以简单粗暴、大笔撒钱的手段迅速聚拢起一批杰出的学者。此外，他本人也以梅森素数（Mersenne prime）在数学史上留芳。

一份笛沙格关于圆锥曲线的文章让帕斯卡尤为感兴趣，十六岁的帕斯卡就写了一篇短论文«圆锥曲线专论»（Essai pour les coniques）作为证明的方法。然后将这份数学成果交给梅森神父，这是至今仍被广为称作的“帕斯卡定理”，讲的是圆锥曲线的内接六边形其三条对边的交点共线。

因为帕斯卡的作品过于早熟，以至于笛卡尔看了他的手稿后，还以为是小帕斯卡的父亲在背后捉刀。

如今它仍然是整个几何学中最丰满的一个结果之一。单凭这一个发现，就足够让帕斯卡在数学界名垂青史了。

那个时候法国政府因为三十年战争急需用钱，于是黎塞留（Cardinal de Richelieu）推行新的税制，老帕斯卡因为反对这项税务政策而被投入巴士底狱。后又因女儿Jacqueline在一次儿童戏剧表演里得到观席的黎塞留的好评才被赦免。被国王派到北部的鲁昂（Rouen）当税务专员，帕斯卡也跟随而去。

1642年，为了减轻他父亲无止尽地、重复地计算税务收支的负担，19岁的帕斯卡努力地制造出一台可以运行八位加法和减法的计算器，叫作Pascaline。真是祖坟冒青烟，老帕家生了这几个争气孝顺的儿女，真是赚到了。读到这里，谁还敢再说西方人是不近亲情，不尽孝道的野蛮民族？

三年后，经过五十多次的改进，演示给首席大法官塞吉埃（Pierre Séguier）看。随后十年里，以“太阳王”（le Roi-Soleil）名垂于世的路易十四命令批量生产了二十多台机械计算器。目前还剩八台以及一台由旧零件拼装而成的计算器在各地博物馆里展出，有一台为十八摸公司 — IBM所拥有。

在这台计算器发明之后，帕斯卡试着使其商业化，努力降低产品的成本，还亲自写了使用手册。

1654年的秋天，坐在公共马车里的帕斯卡在讷伊桥（Pont de Neuilly，是他第一个提出和推行了巴黎的公共交通系统，这也是他用自己的影响力对人类文明的一个贡献）上出了车祸，他受到严重的脑震荡。

此后，帕斯卡退出科技界进修道院过隐居生活，沉迷于哲学和神学的研究。帕斯卡说过：“人类的所有问题，均来源于人无法安静地独处在一间屋子里（Tout le malheur des hommes vient d’une seule chose, qui est de ne savoir pas demeurer en repos dans une chambre）”。这是世界第一宅男的箴言。

他虽然放弃科学研究，但法国文学却因此添加了两部杰作。据说帕斯卡尔自小擅长辞令，说话幽默风趣，这可能是他的著作留传后世的一个原因。

在历史上有许多数学家，在数学研究上颇有成就之时，然后剑走偏锋改去研究物理学或其他自然科学，最后在哲学和神学方面自成流派。看来把理科博士叫成Ph.D还是有点道理的。

这类数学/哲学家中，古希腊时期就有毕达哥拉斯、阿基米德，中世纪有奧里斯姆（Nicole Oresme），文艺复兴时期有伽利略（Galileo Galilei）、笛卡儿（René Descartes）、斯宾诺莎（Baruch de Spinoza），科学革命、启蒙运动时期和近代有牛顿的老师巴罗（Isaac Barrow）、牛顿本人（Isaac Newton）、孔多塞侯爵（Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet）、古诺（Antoine Augustin Cournot）、弗雷格（Gottlob Frege）、庞加莱（Henri Poincaré）、策梅洛（Ernst Zermelo）、罗素的老师怀特黑德（Alfred Whitehead）、罗素本人（Bertrand Russell）、哥德尔（Kurt Gödel）等，数不胜数。

其实哲学的研究对象不仅仅是人生的意义，哲学包含宇宙、时空、本源、过去、现在和未来等几乎所有学科领域。譬如，在物理学家认为质量不连续，而爱因斯坦发现相对论的时候，世界观崩塌的不只是当时物理学家们，哲学家们的内心也是崩溃的。一个哲学家如果单纯只专注于思想而摒弃科学的研究，那他的思想，永远也无法达到一个令人敬仰的高度。唯有随科学而不断与时俱进的哲学，才能久历不衰。

帕斯卡就是这样一位在数学，自然科学，哲学方面均有建树的人物。他有部散文集叫«思想录»（Pensées），著名的基督教辩惑“帕斯卡的赌注”（Pascal's Wager）就是出自那本书的第223节，顺便（真不想加这个副词）创造了概率论的新领域，标志着决策论的正式发展。限于篇幅，我们在这里不多讲了。

主张言论自由的法国文豪和启蒙大家伏尔泰曾说过这样一句话：“我并不同意你的观点，但是我誓死捍卫你说话的权利（Je ne suis pas d'accord avec ce que vous dites, mais je me battrai jusqu'à la mort pour que vous ayez le droit de le dire. ）”。他在一本重要著作«哲学书简»（Lettres philosophiques sur les Anglais）里的第二十五封信是“关于帕斯卡的几点意见”（REMARQUES (premières) SUR LES PENSÉES DE M. PASCAL），洋洋洒洒一大篇文章专门批驳帕斯卡的哲学思想。但是他不得不承认帕斯卡的«思想录»是当时法国的第一部杰作（le meilleur livre qui ait jamais paru en France）。

书中他关于人是会思考的苇草那段话用来说明人本身的矛盾：能够思想之伟大，又象苇草似的脆弱和卑贱。和同样是数学/哲学家罗素写的«我为什么而活着»一并被收入苏教版和沪教版的高三语文课本。我摘录出来，和大家分享一下。

L’homme n’est qu’un roseau, le plus faible de la nature ; mais c’est un roseau pensant. Il ne faut pas que l’univers entier s’arme pour l’écraser : Une vapeur, une goutte d’eau suffit pour le tuer. Mais, quand l’univers l’écraserait, l’homme serait encore plus noble que ce qui le tue puisqu’il sait qu’il meurt, et l’avantage que l’univers a sur lui, l’univers n’en sait rien.

Toute notre dignité consiste donc en la pensée. C’est de là qu’il faut nous relever et non de l’espace et de la durée que nous ne saurions remplir. Travaillons donc à bien penser : voilà le principe de la morale.

Roseau pensant. — Ce n’est point de l’espace que je dois chercher ma dignité, mais c’est du règlement de ma pensée. Je n’aurai pas davantage en possédant des terres : par l’espace, l’univers me comprend et m’engloutit comme un point ; par la pensée, je le comprends.

— Blaise Pascal, Pensées (1670), fragments 347 et 348 dans l’édition L. Brunschvicg

人只不过是一根苇草，是自然界最脆弱的东西；但他是一根能思想的苇草。用不着整个宇宙都拿起武器来才能毁灭；一口气、一滴水就足以致他死命了。然而，纵使宇宙毁灭了他，人却仍然要比致他于死命的东西更高贵得多；因为他知道自己要死亡，以及宇宙对他所具有的优势，而宇宙对此却是一无所知。

因而，我们全部的尊严就在于思想。正是由于它而不是由于我们所无法填充的空间和时间我们才必须提高自己。因此，我们要努力好好地思想；这就是道德的原则。

能思想的苇草——我应该追求自己的尊严，绝不是求之于空间，而是求之于自己的思想的规定。我占有多少土地都不会有用；由于空间，宇宙便囊括了我并吞没了我，有如一个质点；由于思想，我却囊括了宇宙。

— 何兆武，译

他还写了另一本书«致外省人信札»（全名为Lettres écrites par Louis de Montalte à un provincial de ses amis et aux RR. PP. Jésuites sur le sujet de la morale et de la politique de ces Pères），主要围绕替他的朋友阿诺尔（Antoine Arnauld）和耶稣会（Les Jésuites）之间关于上帝的恩宠和自由意志的神学争论而写的十九封辩护信札，但最终未能避免阿诺尔被索邦学院（La Sorbonne）除名。

学习法语的同学应该去阅读一下，因为它罗辑严密、思路清晰、文采飞扬而被称为“法文写作的典范”。确立了现代法国典雅语体散文。

天妒英才，帕斯卡于39岁就过早离世了。

下面该轮到莱布尼茨登场了。

莱布尼茨和帕斯卡一样，出生在“天才的世纪” — 十七世纪，既是德国著名的数学家也是一名哲学家。在哲学上，他与亚里士多德（Aristotle）和康德（Immanuel Kant）齐名，是欧洲三大哲学泰斗之一。

在他1686年完成的«形而上学论»（Discours de métaphysique）里阐述了著名的乐观主义观点并加以证明：“我们的世界是众多可能的世界之中最好的一个”（Le meilleur des mondes possibles / Die beste aller möglichen Welten）。

在数学上，此人有个如雷贯耳的数学公式，他与牛顿齐名，还跟牛顿争抢过微积分的发明权。他们之间的恩恩怨怨成了科学史上著名的公案，后来又演变成了粉丝团的撕逼大战，使得英国停止对外科学交流并持续了一百多年。故事细节我留在讲牛顿的时候再梳理。最近在读一些有关的故事，越读越觉得牛顿为人的阴险甚至卑鄙。

他还是数理逻辑这一重要学科的开创者，对以后计算机的发展有着极其深远的影响。

1646年，莱布尼茨出生于还是神圣罗马帝国的莱比锡（Leipzig），因中央的政策优惠，此地的贸易集市地位非常突出。莱比锡算是比较有灵气的地方，四十年后这里还出了另一个人物，就是著名的音乐家巴赫（Johann Sebastian Bach）。

莱布尼茨生于一个书香门第的家庭，父亲是莱比锡大学（Universität Leipzig，东德时期被称作莱比锡马克思大学）的伦理学教授。五十多岁时，也就是在莱布尼茨六岁时去世，留下了一个私人的图书馆。他母亲是一位教授的千金，所以对他的教育并未中断。

八岁那年，他便如饥似渴地阅读已故父亲留下的各种拉丁文著作。十二岁时开始学习古希腊文。十四岁，莱布尼茨便在莱比锡大学攻读法律，业余学习欧几里得«几何原本»，对数学有着浓厚的兴趣。二十岁就递交了博士论文。那年，他出版第一部有关于哲学方面的书籍«论组合术»（de arte combinatoria）。

拿到博士学位后，他并未接受教职。二十一岁的莱布尼茨在德国纽伦堡加入一个炼金术士团体并任秘书。通过这个团体，他结识了政界人物美茵茨御前大臣（Oberhofmarschall，Johann Christian von Boyneburg男爵）并被推荐给美茵茨选帝侯大主教（Kurfürst und Erzbischof von Mainz，Johann Philipp von Schönborn）任职于高等法院。

选帝侯（Kurfürst）是德国历史上的一种特殊现象。其中"kur"意为“选择”，"Fürst"意为“诸侯”，指拥有选举神圣罗马帝国皇帝权利的诸侯，共有七人。"三十年战争”后的德意志，神圣罗马帝国的皇权被严重削弱，就像我们的春秋战国时期那样，每个诸侯下面都有首相、大臣和一批谋士。

此时，法国“太阳王”路易十四的势力如日中天，窥觑日耳曼邻国多日。有鉴于此，身为选帝侯门客的莱布尼茨除了编撰一部民法以外，还不失时机地献上一条锦囊妙计：用一个让法国征服埃及的计划去分散路易十四对荷兰及北方邻国的注意力。于是，二十六岁的莱布尼茨便被派往巴黎进行外交攻势，当然这项政治计划没有成功。

莱布尼茨关于征服和开化埃及而进行一场圣战的伟大梦想，纯粹是一种玩世不恭的杰作。近一百年后拿破仑的军队侵略德国时，在汉诺威皇家图书馆里，法军发现了大量莱布尼茨遗留下来的手稿，其中就有预备呈献给路易十四的那条征服埃及的“锦囊妙计”。其时，这项“宏伟计划”已在几年前被拿破仑实施，这次征战受到英国和奥斯曼帝国的联合阻击，最后以失败告终。不仅如此，在埃及的军事失利还直接导致了法军在亚平宁半岛的全线崩溃。

前面讲过，路易十四由得力干将、财务大臣柯尔贝尔（Jean-Baptiste Colbert）筹办了巴黎皇家科学院（Académie royale des sciences de Paris）安置在当时的皇宫卢浮宫的图书馆里，欧洲大陆知名学者云集于此。学者们走进宫廷，成为君主的座上嘉宾。科学的动力注入国家机器的引擎，整个国家的发展焕然一新。下图就是柯尔贝尔向路易十四介绍皇家科学院成员。

巴黎很会挖掘人才，任人唯贤。由来自博洛尼亚大学的意大利人卡西尼（Giovanni Domenico Cassini）主持巴黎天文台，之后这个家族薪火相传，先后四代人占据此位。由当年梅森教父一手提携的荷兰人惠更斯执掌科学院，几乎把名噪一时的大师均网罗帐下。

本来承担外交任务的莱布尼茨却如鱼得水般地结识了惠更斯，对那个时代的现代数学几乎还一无所知的他走上了科学坦途。

惠更斯送给莱布尼茨一份他自己关于钟摆线的数学著作，书中的数学方法所产生的神奇力量迷住了莱布尼茨，他请求惠更斯给自己上课。在惠更斯的指导下，莱布尼茨开始系统地学习数学，这位天生的数学家功力更见提高。

从伽利略开始，十七世纪是人们对数学力学爱好的年代，这就是为什么大批卓越的数学家对摆线怀有强烈的兴趣（牵涉到的人实在太多，这里就不一一赘述了）。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，剽窃的指责，以及抹煞他人工作的现象。而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers），限于篇幅，我们也不解释这个希腊神话典故。

这种学术气氛也是为什么后来会出现牛顿-莱布尼茨之争的环境因素。

帕斯卡逝世后，莱布尼茨发现了一篇由帕斯卡亲自撰写的“加法器”论文，强烈勾起了他的发明欲望，他决心把这台机器的功能扩大到能乘除的四则运算。

在巴黎，他聘请了数位钟表工匠协助完成这项工作。终于1674年制成了一台更完善的机械计算器，并将其呈交给巴黎科学院审查验收并演示于公众。

他设计的新型机器，由两个部分组成：第一部分是固定的，用于加减法，与帕斯卡先前设计的加法机基本一致；第二部分用于乘除法，这部分是他专门设计的乘法器和除法器，由两排齿轮构成（被乘数轮与乘数轮），这是莱布尼茨的首创，称为“莱布尼茨轮”（cylindre cannelé de Leibniz）。

这架计算器中的许多装置成为后来的技术标准，直到1948年以前，IBM所制造的手摇计算器都还在采用此类技术。莱布尼茨充分认识到了计算器的重要性并指出：把计算的工作交给机器去做，可以使优秀的人才从繁重的计算中解脱出来。

由于他在计算设备上的出色成就，被选为英国皇家学会会员。同时也成为巴黎皇家科学院院士。

1679年3月15日莱布尼茨发明了一种计算法，用两位数代替原来的十位数，即1和0。他写了题为«二进算术»的论文，对二进制进行了充分的讨论并建立了二进制的表示及运算。

1696年，他向奥古斯特公爵介绍了二进制，公爵深感兴趣。1697年，莱布尼兹还特地制作了一个纪念章献给公爵。上面刻写着拉丁文：“从虚无创造万有，用一就够了”。

由此可看出，莱布尼兹对二进制的极大偏爱存在神学方面的原因。在他看来，一切数都可以用0和1创造出来，这正可以作为«圣经»所说上帝从“无”创造“有”的象征。也就是说，从二进位制中，莱布尼兹发现了上帝创造世界的证据。

莱布尼兹在法国定居时，同在华的传教士白晋有密切联系。

白晋（Joachim Bouvet）是耶稣会的法国传教士。1684年受路易十四选派出使中国传教，出发前被授予“国王数学家”称号，也是法国科学院院士。同行者还有：洪若翰（Jean de Fontaney）、刘应（Claude de Visdelou）、李明（ Louis-Daniel Lecomte）、张诚（Jean-François Gerbillon）和塔夏尔。途经暹罗时，塔夏尔被暹罗国王留用。其余五人于康熙二十六年（1687年）抵达浙江宁波。

因海禁未开，洋人不能深入内地，清政府令其回国。但经荷兰传教士南怀仁（Ferdinand Verbiest）说明他们为法王所遣，精于天文历法。次年入北京，白晋与张诚为康熙留用，随侍宫中。白晋为康熙讲授欧几里得几何。

洪若翰和刘应因向康熙帝奉献金鸡纳霜而治好康熙的疟疾而闻名，其实只是小试身手而已。如同以前帮亲戚朋友重装个系统，安装个软件一样，人家一致称赞我到底是学计算机科学的大学生，厉害啊。

白晋对中国的易经很感兴趣，曾在1701年寄给莱布尼兹两张易经图，其中一张就是有名的“伏羲六十四卦方位圆图”。这个喜欢思索数与算术本质的人惊奇地发现，这六十四卦正好与64个二进制数相对应。

莱布尼兹认为中国的八卦是世界上最早的二进制记数法。为此，莱布尼兹非常向往和崇尚中国的古代文明，他把自己研制的乘法机的复制品赠送给清帝康熙，以表达他对中国的敬意。据说直到文革它还是有据可查的。

在西方近代思想家中，对中国文化关注最早、兴趣最大、讨论最多的，可能非莱布尼茨莫属了。莱布尼茨和伏尔泰都是那个时代的“亲华派”、“中国通”，这和耶稣会传递的信息有关。

西方对中国的了解，一个重要的途径是来华耶稣会士的介绍。初期耶稣会士受到了不错的待遇，安排在北京担任天文观察或者测绘地图工作，他们接触到的是王公贵族，看到的是都市繁华，当然所描写的都是正面的东西。

后来就不行了，因为天主教徒掺和进了夺嫡斗争，雍正时期开始全面禁教，天主教转入半地下传教，和前面走官方路线直接效力宫廷的耶稣会士不同，后来这帮人只在最下层工作，搞成了秘密会党，越接近下层，传来的消息就越糟糕了。在农村的普通农民，生活比起京城的市民来自然要差许多，教徒时刻面对被捉拿，流放的危险，地下传教士的信件里，自然充满了中国最黑暗面的种种描述。所以西方也慢慢开始歧视和轻蔑中国了。

这是白晋送给莱布尼茨的易卦图。

莱布尼茨曾经写过一篇关于二进制与中国伏羲八卦图的论文。叫作«论只使用符号0和1的二进制算术，兼论其用途及它赋予伏羲所使用的古老图形的意义»（Explication de l'arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1 avec des remarques sur son utilité et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy）。

它包含了莱布尼茨关于二进制算法的表达方式、规律特点、优势与用途的论述以及他对于中国伏羲文化的思考。

这是莱布尼茨关于二进制的手稿。

二进制记数法的历史常与莱布尼兹联系在一起。但事实上，莱布尼兹并不是这种记数法的最早发现者。

在他之前已经有人提出过这种记数法。如十七世纪初，英国人哈里奥特（Thomas Harriot）在他未发表的手稿中提到了它。1605年，“芝士就是力量，法国就是培根”里的那个培根（Francis Bacon）提出了一套系统，可以把26个字母化为二进制数，譬如字母g就是AABBA，即00110。被称为培根密码（Bacon's cipher）。

莱布尼兹大概未见到过前人的论述，所以当他重新发现二进制时，他一直以为这是自己的独创。不过，由于二进制是在莱布尼兹的大力提倡和阐述下，才引起人们关注的，所以把二进制与莱布尼兹联在一起作为一种已习惯的说法也无不当之处。

莱布尼兹是一位有着极其广泛兴趣的学者，他的研究领域涉及到数学、哲学、逻辑学、力学、地质学、法学、历史、语言、法律及神学等，被誉为百科全书式的人物。他的理想抱负实在太多，一个人的力量却如此微弱。

而他本人也不断提出一些远超出其社会地位的惊人计划。例如，他认为通过引进丝织品的生产，德意志的经济就可能振兴，为此亲自在院子里栽下意大利的桑树种子；他建议在柏林建立一个公共卫生体系、一个火警服务系统；同时，他还指导王宫的花园设计，提议在维也纳修建路灯、国家银行、瘟疫患者隔离病房，以及制订多瑙河河流管理计划；他倡导的研究项目包括在俄国和美洲之间地峡的存在性、斯拉夫人的起源和他们的语言等等。

身为英国皇家学会会员和巴黎皇家科学院院士的莱布尼茨怀着对传播科学的热情，他亲自与各国的开明君主洽谈。先是在1700年筹办组建了柏林科学院，出任首任院长。更在俄罗斯帝国彼得大帝三次访问欧洲考察期间面见沙皇，劝说沙皇建立圣彼得堡科学院，还被彼得大帝聘为彼得堡枢密顾问。由于他的努力，十八世纪欧洲各国纷纷跟风建立科学院，就如同现在举办经济论坛一样火热。

我们穿越一下，如果当年康熙皇帝会见莱布尼茨，并成功建立科学院，中国今天的科技实力将会变得如何呢？估计影响不会很大，因为中国历来的君主们都担心万一把科学搞过头，民众知道的太多，学会求真就麻烦大了。

伟人的晚年都是孤独的，1716年11月14日，在因痛风和胆结石引发的腹绞痛卧床一周后，终身未娶的莱布尼茨孤然离世。没有鲜花，没有眼泪，只有那覆棺的沙石声。

仅有了二进制和能计算的机械，要发展到今天的计算机还是不够的。

1854年，英国数学家乔治布尔（George Boole）发表了一篇里程碑式的论文，«The Laws of Thought»。为什么说是里程碑式的？

因为此前，数学只用于计算，没有人意识到，数学还能表达人的逻辑思维。哲学书都是用文字写的。比如，最著名的三段论：“所有人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的”。布尔认为，这种推理可以用数学表达，也就是说，哲学书完全可以用数学写。这就是数理逻辑的起源。

他还发明的一个工具，叫做"集合论"（Set theory）。他认为，逻辑思维的基础是一个个集合（Set），每一个命题表达的都是集合之间的关系。后人称之为布尔代数。

1864年，布尔冒着大雨步行两英里走到讲台，身着打湿的衣服为学生们授课。不久后，他就病倒了，得了重度感冒还发高烧。其妻错误地相信疾病需要用致病因子施救，因为布尔是淋雨水而感冒的，妻子于是用桶装水淋到他身上。结果湿气进一步加剧了他的病情，肺积水而一命呜呼。真是迷信害死人。

布尔的妻子可不是一般的女性，是个女权主义哲学家，她还是乔治埃佛勒斯的侄女。这个乔治也不是一般的人，身兼皇家学会会员的地理学家，曾经是印度的测量局长。喜马拉雅山的珠穆朗玛峰，老外们叫Everest，就是因为这位乔治（George Everest）而取名。

他们夫妇俩育有五朵金花，最小一朵名叫艾捷尔丽莲（Ethel Lilian ），婚后改姓伏尼契（Voynich）。因为意识形态的原因，她著有一本小说在前苏联和我父辈的中国很流行 — «牛虻»。苏联甚至以她的名字命名了一颗1970年发现的小行星2032（2032 Ethel）。

艾捷尔有个曾外孙女叫Carma Hinton，这位麻省理工的老师说着一口北京大妞的京片子。人出生地就在北京，101中毕业。她的父亲（哈佛和康奈尔毕业的农学家）、姑姑（少有的几位参加过曼哈顿计划的女核物理学家之一）和姑父（康奈尔毕业的农牧专家）都参加过造反派，被称作中国人民的老朋友。他们分别是韩丁，寒春和阳早，老一辈的人应该了解他们的事迹吧。

Carma因拍摄过两部关于我们两个历史事件的纪录片而成为敏感人物。

1937年，香农（Claude Shannon）在麻省理工完成了其电气工程硕士学位论文题为《继电器与开关电路的符号分析》（A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits），被誉为有史以来最具水平的硕士论文之一。用继电器和开关实现了布尔代数和二进制算术运算。将沉睡多年的布尔代数应用于电路设计中，让布尔代数第一次找到了用武之地，从此布尔代数就成为电路和计算机运行的必不可少的逻辑工具。

贝尔实验室于1948年分别诞生了二项重要成果，一项是肖克利（W. Shockley）等三人发明替代电子管的晶体管，还因此获1956年的诺贝尔奖；另一项就是香农发表的著名文章«通信的数学理论»（A Mathematical Theory of Communication）创建了信息时代的理论基础 — 信息论。

了解了那些前人的思路，现在我们对进位制熟悉多了，我们来设计一个三进制。

理论上讲自然底数e（也叫欧拉常数）进制最有效（这和传输同个离散值所需的最少编码有关，具体我就不证明了，因为我也不会），最接近这个数学常数e（2.71828）的整数就是3，所以说理论上讲三进制比二进制更高效。

苏联时期的莫斯科国立大学就设计和生产过一批三进制计算机Сетунь，它在不同的室温下都表现出惊人的可靠性和稳定性，因为计划经济和官僚制度使其成为绝唱。

为了应景，我们就用铃儿声音来作为三进制的计数系统。其基本音是叮、咚、铛分别代表0，1和2。

这里我们把最能总结二进制的一句话亮出来：二进制就是逢二进一。那三进制呢？大家仔细看下面的例子就明白了。

叮 (0)，

咚 (1)，

铛 (2)，

咚叮 (1*3 + 0 = 3)，

咚咚 (1*3 + 1 = 4)，

咚铛 (1*3 + 2 = 5)，

铛叮 (6)，

铛咚 (7)，

铛铛 (8)，

咚叮叮 (9)，

咚叮咚 (10)。。。

我们发觉，其实搞一个进位制计数系统不是很难啊，我们距离发明机器运算只有一步之遥而已。是前人们太磨蹭还是我们太聪明？都对又都不对，因为我们通过学习和思考，使我们站到了科学巨人们的肩膀之上得以远望而已。

对各位热心点赞评论的朋友，因未能绑定手机而无法一一回复和感谢你们的鼓励，在新的一年来临之际，祈祝各位朋友元旦快乐，幸福吉祥。